如果點電荷做勻速運動，即a′
=0，運動點電荷的電磁場方程 e=
e4πε
01s′
3 簡化為 e=
在上面的運動電荷示意圖中，o』是t′
時刻電荷的位置，o是t′
+δt 時刻電荷的位置，不妨取為原點。它們各自發射的電磁波在經過一段時間後在
t 時刻到達a點。δt
=oo′
v′=r
′c所以o
′o→=
v′r′
cv′v
′=r′
v′c
所以 r′−
r′cv
=r′−
o′o→
=r，即 r′
−r′c
v=r
所以電場
e 的方向和
r 同向。且 r′
2=r2
+r′2
v2c2
+2r′
vrccosθ
解關於r
′ 的方程，得 r′
=r1−
v2c2
(vccosθ+
1−v2
c2sin2θ−
−−−−
−−−−
−√)
s′=r
′−r′
⋅v′c
=rγsinθ2
+γ2cos2θ
−−−−
−−−−
−−−−
−√代入場強的公式，得到 e=
e4πε
0r2r
rγ(sinθ2
+γ2cos2θ
)32
此時 b=1
cr′r
′×e=
1cr′
(r+r
′cv)
×e=1
c2v×
e(e和
r同向)
當電荷的速度遠小於光速，即γ≈
1 e=
e4πε
0r2r
r 退化為庫侖定律，也就是說，只要粒子運動速度足夠低，運動帶來的效應可以忽略不計，庫侖定律仍然適用。此時 b=
1c2v
×e=μ
04πv
×rr3
和畢奧-薩伐爾定律一致。
場強公式 e=
e4πε
0r2r
rγ(sinθ2
+γ2cos2θ
)32
和庫侖定律只相差乙個因子，這種差別體現在場強大小隨
θ 的分布上，在接近速度的方向上(
sinθ→0
)場強更小，在垂直於運動方向場強更大。當a
′≠0 時，它就會額外產生乙個場 e=
e4πε
01s′
3 從量級上看，當r′
→∞時，e∼1
r′，能流密度s∼
1r2 ，能量e=
∫s⋅d
α=co
nst ,顯然這是乙個輻射場。
為了計算輻射功率，考慮在t′
到t′+
δt之間輻射出的電磁波在
t 時刻的波前，在這段時間輻射出的能量正是兩個波前之間的場能。
′時刻向任意方向的小立體角dω
內輻射的功率為 dp
=ωr′
2dωδ
r′δt
其中ω 是能量密度，δr
′ 是兩個球面之間的距離，與r 和
v 方向的夾角有關。 δr
所以有dpd
ω=ωr
′2(c
−r′⋅
vr′)
總的輻射功率為 p=
∮ωr′
2(c−
r′⋅v
r′)d
ω 這個結果和靜止時候的功率 p=
∮cωr
′2dω
只相差乙個都卜勒因子。
輻射場的能量密度、能流密度形式不變。 ω=
12(ε
0e2+
1μ0b
2)=ε
0e2s
=1μ0
e×b=
ωcr′
r′粒子的運動速度很低，即γ≈
1 e=
e4πε
01r′
3[1c
2r′×
(r′×
a′)]
b=1cr′r
′×e
把r′ 對
a′的方向角記作
θ ，那麼場強大小可以寫成 e=
14πε
0ea′
sinθc2
r′2
由ω=ε
0e得 ω=1
16π2ε
0e2a
′2sin2θc
4r′2
忽略都卜勒因子，代入功率的方程，得功率的角分布 dp
dω=c
ωr′2
=116π
2ε0e
2a′2
sin2θc
3 和sin2θ
成正比分布。
總功率p=1
6πε0
e2a′
2sin2θ
c3功率的大小和加速度的平方成正比，這被稱為輻射的larmor公式。
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