如果磁場隨時間緩慢變化，根據法拉第定律，∇×e
=−∂b
/∂t\bm\times \bm= - \partial \bm/\partial t
∇×e=−∂
b/∂t
，會產生乙個非保守電場，從而粒子總能量不再守恆。
設磁場在空間分布均勻，則粒子在乙個迴旋週期內，動能的變化量為
δ ω⊥
=q∫c
e⋅dl
=−q∫
s∂b∂
t⋅da
\delta \omega _\bot = q \int_c \bmd\bm = - q\int_s \frac} \cdot d\bm
δω⊥=q
∫ce
⋅dl=
−q∫s
∂t∂
b⋅d
a其中用了斯托克斯定理
，將線積分化為面積分。由於磁場隨時間緩慢變化，粒子近似為圓周運動，圓周面積為 πρc
2\pi \rho_c^2
πρc2
，則動能改變量化為
δ ω⊥
=∣q∣
dbdt
πρc2
\delta \omega _\bot = |q| \frac \pi \rho_c^2
δω⊥=∣
q∣dt
dbπ
ρc2
使用∣q
∣|q|
∣q∣是因為能量變化與電荷符號無關。粒子的迴旋週期δt=
2π/ω
c\delta t = 2\pi /\omega_c
δt=2π/
ωc，則垂直動能的變化率為
d ω⊥
dt=ω
c2πd
bdt(
πρc2
)\frac = \frac \frac (\pi \rho_c^2)
dtdω⊥
=2π
ωc
dtdb
(πρ
c2)
其中( 1/
2π)ω
c∣q∣
πρc2
(1/2\pi)\omega_c |q| \pi \rho_c^2
(1/2π)
ωc∣
q∣πρ
c2為磁矩，上式寫成
d ω⊥
dt=μ
dbdt
\frac = \mu \frac
dtdω⊥
=μd
tdb又μ=
ω⊥/b
\mu = \omega_\bot / b
μ=ω⊥/
b，上式化為
d ω⊥
ω=db
b\frac = \frac
ωdω⊥
=bdb
積分可以得到
ω ⊥b
=常量\frac=常量
bω⊥=
常量從而得到，粒子在隨時間緩慢變化的磁場中運動時，磁矩也守恆。
粒子在隨時間變化和隨空間變化的磁場中運動時，磁矩都守恆。將座標系轉化為粒子導向中心的運動座標系，當粒子沿著磁力線向磁場增強的區域運動時，粒子感受到的磁場要增強，這相當於是磁場隨時間變化。因此在磁鏡中運動的粒子的垂直方向的動能的變化可以認為是在粒子運動座標系下，隨時間變化的磁場激發出的電場引起的。
粒子的磁矩守恆，與粒子圓周運動的圓周所包含的磁通量守恆是等價的
μ =1
2∣q∣
ωcρc
2=12
πq2m
φb\mu=\frac|q| \omega_c \rho_c^2 = \frac \frac \phi_b
μ=21∣
q∣ωc
ρc2
=2π
1mq
2φb
其中φ
b\phi_b
φb為磁通量
φ b=
πρc2
b\phi_b = \pi \rho_c^2b
φb=πρ
c2b
如果μ
\muμ為常量，那麼φ
b\phi_b
φb也為常量。
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