不妨設fn
=∑nk
=0ak
,ngk
gn=∑nk=
0bk,
nfk
則兩式可以相互推導的充要條件是∀k
,i≠j
,ai,
kbj,
k=0
∀k,i
=j,a
i,kb
j,k=
1 以上這兩個相互推導的式子就稱離散變換或反演。
反演用矩陣的形式給出會更加舒服一點。
不妨設f
是乙個n×
1的列向量，a,
b 是n×
n 的係數矩陣，
g 是1×
n的行向量，那麼上面所有的式子可以如下表示。f=
gta,
gt=f
b 兩式可相互推導⟺a
bt=e
這是顯然的，從逆矩陣的角度出發很容易就能得到這樣的結論。
注意上面提到了兩個係數矩陣。然而實際應用時我們很少會用到它，而是用乙個偏序關係來代替它。
乙個定義在集合
s 上的偏序關係
≤，記為
≤>
這個不妨可以把它看作過載運算子 l
eq。不同之處在於它存在一種無法比較的關係，也就是說對於任意兩個元素我們不一定可以比較出它們的大小。
形象化地，對於任意的
x 直接小於等於
y（注意這裡的小於等於並不是指數字上的小於等於）也就是說∀x
,y∈s
,x≤y
,∄z,
x≤z≤
y ，我們從
x 到
y連一條有向邊。那麼整乙個偏序關係必定是形成了若干個dag。
用圖形來表示就顯得更加明了了。
全序關係是偏序關係的乙個特例。它的特點是集合中的任意兩個元素都可以比較大小，那麼我們就可以把它排成一列。而它的影象表示也恰好是一條鏈的形式。實數中的
≤ 恰好就是一種全序關係。
其中dilworth定理給出了它們兩者之間的關係
設有偏序集
≤>
，且 ∀
x∈s,
fx=∑
y≤xg
y
那麼 gx
=∑y≤
xμ(y
,x)f
y
其中當 x=
y 時， μ
(x,y
)=1
否則 μ(
x,y)
=−∑x
≤z(x,z
)
大致意思就是將之前減過的 x
這一位都抵消回去，最後再減去
x自身。
設有偏序集
⊆>
，再定義 f
x=∑y
⊆xgy
那麼 g
x=∑y
⊆xμ(
y,x)
fy其中 μ
(y,x
)=|x
|−|y
|
接下來我們來討論乙個數論上很重要的反演。設f
,g都是算術函式(a
rith
meti
cfun
ctio
ns) ，它們的狄利克雷卷積得到的也是乙個算術函式
h ，且h(
n)的表示式為h(
n)=∑
d|nf
(d)g
(nd)
算術函式：在數論上，算術函式（或稱數論函式）指定義域為正整數、陪域為複數的函式，每個算術函式都可視為複數的序列。所有的數論函式和逐點加法、狄利克雷卷積構成了乙個交換環。
具體的，狄利克雷卷積滿足以下定律
單位元現有算術函式定義如下（e定義如下
關於第二條性質的證明
f 也是算術函式）f(
n)=∑
d|nf
(d) 從
f 來倒推出
f可以用莫比烏斯反演。
考慮等式左右兩邊同乘乙個
μ (
f∗μ)
(n)=
∑d|n
f(nd
)μ(d
)=∑d
|n[∑
d′|n
df(d
′)]μ
(d)=
∑d′|
nf(d
′)[∑
d|nd
′μ(d
)]注意到當且僅當nd
′=1 ，也就是d′
=n時，[∑
d|nd
′μ(d
)]=1
，其它時候都為
0
那麼就有(f
∗μ)(
n)=f
(n)具體來說就是f(
n)=∑
d|nf
(d)μ
(nd)
以上就是莫比烏斯反演。
然而這個形式不僅僅侷限於此，考慮以下等式。 f(
n)=∑
n|df
(d)
那麼 f(n
)=∑n
|dμ(
dn)f
(d)
也是成立的。
我們不妨倒過來想，原來的莫比烏斯反演是約數的形式，那麼此時變成了倍數的形式以後基本思想還是不變的，上面的式子還是挺容易理解的。
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