貌似又一年的暑期集（tui）訓(fei)又要結束了，上週大概花了5天的時間做了做單調棧的一些題，然而實在對資料結構不敏感，最後這些天打算強行被莫比烏斯反演反虐一波，畢竟去年這個時候就想開來著，剛開啟就虛了，今年感覺我都是個老頭子了也沒啥現場賽具體壓力，所以就當做放鬆和興趣重新從最基礎的學了學，下面來口胡一堆東西。。慎看。。
首先看這個公式：f(n)=σd|n f(d)
然後我們來舉幾個栗子：
f(1)=f(1) f(2)=f(1)+f(2) f(3)=f(1)+f(3) f(4)=f(1)+f(2)+f(4) f(5)=f(1)+f(5) f(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)
然後我們再來看看f可以表示成f的某些形式：f(1)=f(1) f(2)=f(2)-f(1) f(3)=f(3)-f(1) f(4)=f(4)-f(2) f(5)=f(5)-f(1) f(6)=f(6)-f(2)-f(3)+f(1)
然後憑藉著強大的腦(bai)洞(du) 我們可以花線：f(n)=σd|n μ(d)*f(n/d)
其中：μ(d)被稱之為莫比烏斯函式。其最基本也是最重要的性質是：μ(n)= 1(n==1) else if n=p1*p2*..pk 也即n為k個互異素數的1次方相乘得到 那麼μ(n)=(-1)^k else μ(n)=0，
為什麼是這乙個樣子呢- -（好吧紗布我也不太清楚誒qaq）但是我們傻傻舉例子來看嘛：6的因子有1 2 3 6 所以f(6)=μ(1)*f(6)+μ(2)*f(3)+μ(3)*f(2)+μ(6)*f(6)
然後套上面的規定：μ(1)=1 μ(2)=(-1)^1 μ(3)=(-1)^1 μ(6)=(-1)^2，然後帶回，發現跟我們手推的例子是一樣誒（所以沒辣麼多為什麼你就這樣記好了23333）
注意μ(4)=0因為4=2^2是由乙個素因子的平方倍構成，屬於其他情況類屬。所以咱們在f(4)中看不到f(1)的身影- 。-
然後再記住乙個很重要的東西：σd|n μ(d)=1(n=1) 0(n>1)
怎麼證？
貌似得這樣：n=1時，顯然。。 n>1時 假設n=p1^a1*p2^a2*..pk^ak--->可以分解成k個不同的質因子，然後n的每乙個因子d,若要使得μ(d)!=0 那麼咱們把d質因子分解之後d顯然包含k個不同質因子中的r個（0<=r<=k），然後滿足由r個不同的素因子相乘構成的d顯然有c(k,r)個對吧。所以！
σd|n μ(d)=c(k,0)-c(k,1)+c(k,2)+....(-1)^k*c(k,k)<=>σ0<=i<=k (-1)^i*c(k,i)
這個恒等變換的右半部分顯然是乙個二項式展開的形式嘛而二項展開的基本形式不就是：(a+b)^k=σ0<=i<=k c(k,i)*a^i*b^(k-i)然後a,b去一一對應我們花線：a=-1 b=1則可以得到上面的那個展開形式，然後幸運的是，左邊等於0辣，所以可以證粗來啦~
現在我們不妨另k|n/d,則f(n)=σd|n μ(d)*σk|n/d f(k)，然後根據乘法分配律更改求和形式竟然可以得到：f(n)=σk|n f(k)*σd|n/k μ(d)
為什麼是這個樣子：這我也超級想知道更改求和形式之後的恒等為啥如此，貌似具體數學上有？然而我的書在學霸那裡qaq（有人知道**有這個和式交換形式的恒等方面的姿勢的資料求告知啊qaq），但是當我們無法參透具體為啥的時候，舉例子又可以拯救世界：
我們令n=6 把f(n)展開有： f(6)=μ(1)*[f(1)+f(2)+f(3)+f(6))+μ(2)*[f(1)+f(3)]+μ(3)*[f(1)+f(2)]+μ(6)*f(1)，改寫成σf*σμ的形式有：f(1)*[μ(1)+μ(2)+μ(3)+μ(6)]+f(2)*[μ(1)+μ(3)]+...f(6)*μ(1)發現媽的還真能變成那樣交換求和形式，太神了%%%
然後我們又能從上面的附贈品中知道啥：當k!=n時，n/k >1 則σd|n/k μ(d)全是0，而只有當k=n時，σd|n/k μ(d)=σd|1 μ(d)=1，然後我們可以知道右邊的和式變成了啥，沒錯就是：f(n)*σd|1 μ(d)=f(n)*1等於左邊，然後就全部證出來了咯~ ~ ~ ~
然後問乙個很現實的問題：為什麼要反演？ 目測是因為f(n)比較難求，所以可以用來求f(n)的倍數和或者約數和的形式f(n)也許就會有意想不到的結果。具體題目，等我多做（chao）幾道再來分享一下吧- - 發現我這個紗布啥都不會，但是為什麼會對這種理論性的東西這麼感興趣，明顯智商不夠還喜歡去推推推，是不是藥丸啊qaq
莫比烏斯反演 二 莫比烏斯反演定理
首先設兩個任意函式f x 和f x 定義運算 f x sum f d 這時就可以用f x 表示f x f 1 f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 f 3 f 1 f 4 f 4 f 2 f 1 f 5 f 5 f 1 f 6 f 6 f 3 f 2 f 1 這時可以試著用f x 表示f x f ...
莫比烏斯反演
首先 莫比烏斯函式有個性質 d n d 1 n 1 0 n 1 證明 n 1時，不做多餘說明。n 1 根據唯一分解定理，可以分解n ki 1pai i 對於那些含平方因子也就是存在ai 不為1的數，它的函式值為0，對答案沒有任何貢獻。所以我們來看看那些是互異素數乘積的數，每乙個成為它約數的數是什麼樣...
莫比烏斯反演
定理 f n 和f n 是定義在非負整數集合上的兩個函式，並且滿足條件f n d nf d 那麼我們得到結論f n d n d f n d 在上面的公式中有乙個函式 d 它的定義如下 1 若d 1，那麼 d 1 2 若d p1 p2 p k 均為互異素數，那麼 d 1 k 3 其它情況下 d 0 對...