演算法出處：matrix67大神，
除了字串匹配、查詢回文串、查詢重複子串等經典問題以外，日常生活中我們還會遇到其它一些怪異的字串問題。比如，有時我們需要知道給定的兩個字串「有多像」，換句話說兩個字串的相似度是多少。在自然語言處理中，這個概念非常重要，例如我們可以根據這個定義開發出一套半自動的校對系統：查詢出一篇文章裡所有不在字典裡的單詞，然後對於每個單詞，列出字典裡與它的levenshtein距離小於某個數n的單詞，讓使用者選擇正確的那乙個。n通常取到2或者3，或者更好地，取該單詞長度的1/4等等。這個想法倒不錯，但演算法的效率成了新的難題：查字典好辦，建乙個trie樹即可；但怎樣才能快速在字典裡找出最相近的單詞呢？2023年，**科學家vladimir
levenshtein給字串相似度做出了乙個明確的定義叫做levenshtein距離，我們通常叫它「編輯距離」。
字串a到b的編輯距離是指，只用插入、刪除和替換三種操作，最少需要多少步可以把a變成b。例如，從fame到gate需要兩步（兩次替換），從game到acm則需要三步（刪除g和e再新增c）。levenshtein給出了編輯距離的一般求法，就是大家都非常熟悉的經典動態規劃問題。
這個問題難就難在，levenshtein的定義可以是單詞任意位置上的操作，似乎不遍歷字典是不可能完成的。現在很多軟體都有拼寫檢查的功能，提出更正建議的速度是很快的。它們到底是怎麼做的呢？2023年，burkhard和keller提出的bk樹有效地解決了這個問題。這個資料結構強就強在，它初步解決了乙個看似不可能的問題，而其原理非常簡單。
首先，我們觀察levenshtein距離的性質。令d(x,y)表示字串x到y的levenshtein距離，那麼顯然：
最後這乙個性質叫做三角形不等式。就好像乙個三角形一樣，兩邊之和必然大於第三邊。
給某個集合內的元素定義乙個二元的「距離函式」，如果這個距離函式同時滿足上面說的三個性質，我們就稱它為「度量空間」。我們的三維空間就是乙個典型的度量空間，它的距離函式就是點對的直線距離。度量空間還有很多，比如manhattan距離，圖論中的最短路，當然還有這裡提到的levenshtein距離。就好像並查集對所有等價關係都適用一樣，bk樹可以用於任何乙個度量空間。
建樹的過程有些類似於trie
首先我們隨便找乙個單詞作為根（比如game）。以後插入乙個單詞時首先計算單詞與根的levenshtein距離：如果這個距離值是該節點處頭一次出現，建立乙個新的兒子節點；否則沿著對應的邊遞迴下去。例如，我們插入單詞fame，它與game的距離為1，於是新建乙個兒子，連一條標號為1的邊；下一次插入gain，算得它與game的距離為2，於是放在編號為2的邊下。再下次我們插入gate，它與game距離為1，於是沿著那條編號為1的邊下去，遞迴地插入到fame所在子樹；gate與fame的距離為2，於是把gate放在fame節點下，邊的編號為2。
查詢操作異常方便
如果我們需要返回與錯誤單詞距離不超過n的單詞，這個錯誤單詞與樹根所對應的單詞距離為d，那麼接下來我們只需要遞迴地考慮編號在d-n到d+n範圍內的邊所連線的子樹。由於n通常很小，因此每次與某個節點進行比較時都可以排除很多子樹。
舉個例子，假如我們輸入乙個gaie，程式發現它不在字典中。現在，我們想返回字典中所有與gaie距離為1的單詞。我們首先將gaie與樹根進行比較，得到的距離d=1。由於levenshtein距離滿足三角形不等式，因此現在所有離game距離超過2的單詞全部可以排除了。比如，以aim為根的子樹到game的距離都是3，而game和gaie之間的距離是1，那麼aim及其子樹到gaie的距離至少都是2。
於是，現在程式只需要沿著標號範圍在1-1到1+1裡的邊繼續走下去。我們繼續計算gaie和fame的距離，發現它為2，於是繼續沿標號在1和3之間的邊前進。遍歷結束後回到game的第二個節點，發現gaie和gain距離為1，輸出gain並繼續沿編號為1或2的邊遞迴下去（那條編號為4的邊連線的子樹又被排除掉了）……
實踐表明，一次查詢所遍歷的節點不會超過所有節點的5%到8%，兩次查詢則一般不會17-25%，效率遠遠超過暴力列舉。適當進行快取，減小levenshtein距離常數n可以使演算法效率更高。
從編輯距離 BK樹到文字糾錯
搜尋引擎裡有乙個很重要的話題，就是文字糾錯，主要有兩種做法，一是從詞典糾錯，一是分析使用者搜尋日誌，今天我們 使用基於詞典的方式糾錯，核心思想就是基於編輯距離，使用bk樹。下面我們來逐一 1965年，科學家vladimir levenshtein給字串相似度做出了乙個明確的定義叫做levenshte...
編輯距離及編輯距離演算法
編輯距離概念描述 編輯距離，又稱levenshtein距離，是指兩個字串之間，由乙個轉成另乙個所需的最少編輯操作次數。許可的編輯操作包括將乙個字元替換成另乙個字元，插入乙個字元，刪除乙個字元。例如將kitten一字轉成sitting sitten k s sittin e i sitting g 俄...
編輯距離及編輯距離演算法
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