樹狀陣列(binary indexed tree)，是一種設計新穎的陣列結構，它能夠高效地獲取陣列中連續n個數的和。概括說，樹狀陣列通常用於解決以下問題：陣列中的元素可能不斷地被修改，怎樣才能快速地獲取連續幾個數的和？
舉個簡單的例子：
*現在有乙個長度為n的陣列，陣列記憶體有資料，對於這些資料一般有兩類操作：
①修改資料第i個元素
②查詢乙個區間[p,q]內元素的和*
①直接修改，時間複雜度為o(1)
②從p迴圈累加至q，時間複雜度為o(n)
①直接修改a[i]，但是對於維護s，需要時間複雜度為o(n)。
②a[p]~a[q]=s[q]-s[p]即為所求，時間複雜度為o(1)。
由此可見，不同資料結構之間沒有絕對優劣之分，這取決於演算法的需求。在方法二中，我們需要維護乙個陣列的字首和s[i]=a[1]+a[2]+…+a[i]。但是不難發現，如果我們修改了任意乙個a[i],s[i]、s[i+1]…s[n]都會發生變化。可以說，每次修改a[i]後，調整字首和s在最壞情況下會需要o(n)的時間。
但方法二的思想已經給我們了啟發。對於有關「區間」的問題，如果我們只在單個元素上做文章，可能不會有太大的收穫。但是如果對於這些資料元素進行合理的劃分（如方法二將其化為n個字首），然後對於整體進行操作，往往會有神奇的功效。
為了讓樹狀陣列更直觀，我們先看下面這張圖：
傳統陣列(共n個元素)的元素修改和連續元素求和的複雜度分別為o(1)和o(n)。樹狀陣列通過將線性結構轉換成偽樹狀結構（線性結構只能逐個掃瞄元素，而樹狀結構可以實現跳躍式掃瞄），使得修改和求和複雜度均為o(lgn)，大大提高了整體效率。
給定序列（數列）a，我們設乙個陣列c滿足：
c[i] = a[i–2^k+ 1] + … + a[i]
其中，k指i在二進位制時末尾0的個數，或者說是i用2的冪方和表示時的最小指數。
如果對概念不是太理解，可以用以下例子來理解：
如23的二進位制為10111，即：23 =1 *2^4+0 *2^3+1 *2^2+1 *2^1+1 *2^0
即23用2的冪方和表示為
2^4+2^2+2^1+2^0
從圖示中我們可以看出，修改第i個元素，為了維護陣列c的意義，需要修改c[i]以及c[i]的全部祖先，而非c[i]的祖先的節點則對於第i個元素的修改，不會發生改變。所以時間複雜度為o(logn)。
要求區間[p,q]元素和，可求[1,q]、[1,p]作差。則問題轉化為如何查詢乙個區間[1,p]的元素和，即求s[p]。
對於求數列的前n項和，只需找到n以前的所有最大子樹，把其根節點的c加起來即可。不難發現，這些子樹的數目是n在二進位制時1的個數，或者說是把n展開成2的冪方和時的項數。因此，求和操作的複雜度也是o(logn)。
例如：23的二進位制為10111，即：
1 0 1 1 1 （2） = 23 c[23] = a[23]則ｓ[23] = c[16] + c[20] + c[22] + [23]1 0 1 1 0（2） = 22 c[22] = a[21] + a[22]
1 0 1 0 0（2） = 20 c[20] = a[17] + … + a[20]
1 0 0 0 0（2） = 16 c[16] = a[1] + … + a[16]
易見，對於任意p，求s[p]只需將若干樹狀陣列上節點c進行加和即可，因為所加節點個數等於p的二進位制形式中1的個數，因此統計過程的複雜度為o(log n)。
通過上面的介紹，可以發現，實現樹狀陣列的關鍵，在於求乙個數p的二進位制時末尾0的個數k（用2的冪方和表示時的最小指數）。而2^k就是修改（和統計）時指標滑動的距離，我們定義這個值為p的lowbit。
更具體的說，正整數p的lowbit為將p二進位制中最後乙個1按位抽取的結果。比如，23（10111）的lowbit為1（00001），20（10100）的lowbit為4（00100）。
對於乙個二進位制數p，以111010000為例。lowbit(p) = p & ( p ^ ( p - 1 ) )將這個數減1，即p-1為111001111。
將這兩個數取異或，即p^(p-1)，為000011111。
將原數與這個數取和，即p&(p^(p-1))，為000010000。
至此已經成功將p二進位制的最後乙個1按位抽取出來了。
根據有符號整數的補碼規則，我們可以發現(p^(p-1))恰好等於-p（具體就不證明了）
即lowbit的求取公式可以更為簡練：
lowbit(p) = p & -p
記住這個結論，這是實現樹狀陣列的核心內容。
操作一：修改第i個元素（下）
修改第i個元素：修改第i個元素，需要更新c[i]以及c[i]的全部祖先。根據樹狀陣列的邏輯結構，易見c[i]的祖先為c[i + lowbit(i)]。要對第i個位置進行修改，修改c[i]後再向上對其父親進行遞迴修改，直至樹根。下面給出乙個對第i個元素進行加法操作（x位置加num）的例子。
void plus(int x, int num)
}
int
sum(int x)
return s;
}
(1)改變某乙個元素的值
(2)查詢某乙個區間內所有元素的和。
在此基礎上，經過簡單的變形可以變成支援另一組操作：
(1)把乙個區間內所有元素都加上乙個值
(2)查詢某乙個元素的值。
如果你真正的理解了樹狀陣列區間劃分的思想，那麼你會發現這種變形很顯然，只需要將上面的2個基本操作反過來用就可以了，即把乙個區間內所有的元素都加上乙個值時，向前遞迴修改；查詢某乙個元素的值時，沿樹向上遞迴累加，因為它的祖先記錄了所有與它有關的區間整體修改操作。
2015 7 14 樹狀陣列及其初步應用
樹狀陣列 binary indexed tree 是一種設計新穎的陣列結構，它能夠高效地獲取陣列中連續n個數的和。概括說，樹狀陣列通常用於解決以下問題 陣列中的元素可能不斷地被修改，怎樣才能快速地獲取連續幾個數的和？舉個簡單的例子 現在有乙個長度為n的陣列，陣列記憶體有資料，對於這些資料一般有兩類操...
樹狀陣列初步
fuction begin text text text end 原理 定義c i 表示以i為結尾的前lowbit i 個數 原數列 的和 字尾和 維護c i 根據上圖,從底至上 二進位制增加拼湊 更新code inline void update int pos,int val 區間查詢 字首和的...
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