最短路徑問題（Dijkstra）

一、基本概念：

從起點出發找一條到達目的地的、邊權和最小的路徑，這就是單元最短路問題。

在最短路問題中，給出的是乙個有向加權圖g=(v,e)，邊的權值是某種物理物件的度量標準，不一定是距離，它可以是時間，金錢，罰款，損失或任何其他路徑線性積累的數量形式。

路徑p=(v0,v1,......,vk)的權是指其組成邊的所有權值之和。定義u到v間最短路徑的權為:

最短路徑問題的3種型別:

1.單源最短路徑問題：找出從每一節點v到某指定節點u的一條最短路徑。把圖中的每條邊反向，我們就可以把這一問題轉化為單源最短路徑問題。

2.單對節點間的最短路徑問題：對於給定節點對u和v，找出從u到v的一條路徑。

3.每對節點間的最短路徑問題：對於每對節點u和v，找出從u到v的最短路徑。可以使用floyed-warshall演算法解決問題，但時間效率底下，且有不能出現負權迴路的苛刻條件。不妨以每個節點為源點執行一次單源演算法，以提高時效。

鬆弛技術是單源演算法的核心

所謂鬆弛技術，就是反覆減小每個節點的實際最短路徑的權的上限，直到該上限等於最短路徑的權為止。

定理：給定有向加權圖g=（v，e），設p=為從節點v1到節點vk的一條路徑，對任意i，j有i<=j<=k，設pij=為vi到vj的p的子路徑，則pij是從vi到vj的一條最短路徑。

給定有向加權圖g=（v，e），源點為s，則對於所有邊（u,v）∈e，有&（s，v）<=&（s，u）+w（u,v）。

鬆弛技術:

對每個節點v∈v，設定乙個屬性d[v]來描述從源點s到v的最短路徑的權的上界，稱之為最短路長估計，設定f[v]表示v點的父親。

proc initiallze_single_source(g,s);

d[s]:=0;

}鬆弛一條邊（u,v）的過程包括測試是否可通過節點u對目前找出的到v的最短路徑進行改進，如果可能則更新d[v]和f[v]，一次鬆弛操作可以減小最短路長估計d[v]並更新v的父親f[v]。

proc relax(u,v,w);}

二、dijkstra演算法：

dijkstra演算法解決了有向加權圖的最短路徑問題，該演算法的條件是該圖所有邊的權值非負，即對於每條邊(u,v)∈e，w(u,v)>=0;

dijkstra演算法中設定了一節點集合s，從源節點r到集合s中節點的最終最短路徑的權均已確定，即對所有節點v∈s，有d[v]=&(r,v)，並設定了最小優先佇列q，該佇列包含所有屬於v-s的節點（即這些節點尚未確定最短路徑的權），且以d值為關鍵字排列各節點。

初始時，q包含了除r外的其他節點，這些節點的d值為∞。r進入集合s，d[r]=0。演算法反覆從q中取出d值最小的節點u∈v-s，把u插入集合s中，並對u的所有出邊進行鬆弛。這一過程一直進行到q隊列為空為止。

只要圖中沒有負權邊，dijkstra演算法能夠順利完成。如果任何一條邊的權值為負，則演算法可能得出錯誤的答案。

procedure dijstra(g,w,r);}

dijkstra演算法的執行速度取決於優先佇列q的資料結構。有3種資料結構可供選擇：

（1）用一維陣列實現優先佇列，時間複雜度為o（v*v）。使用於規模不大的稠密圖。

（2）用二叉堆來實現優先佇列q，時間複雜度為o（elnv），使用於稀疏圖。

（3）用fibonacci堆實現優先佇列，時間複雜度優化為o（vlnv+e）。但fibonacci堆的程式實現相當繁瑣，程式的實際執行效果不理想，不推薦使用。

dijkstra演算法與prim演算法的異同：

同：都是屬於寬度優先搜尋，且優先佇列q都是以距離d為關鍵字排列的，節點出隊後都要進行鬆弛操作。

異：dijkstra演算法中的距離d是節點與源點間最短路長估計值，prim演算法中的距離d是節點連線生成樹的最短邊長。

變形:求出最短路的路徑

對於多條最短路存在的情況，求方案數

求次短路徑

習題：1.codevs1041

2.poj3013

3.poj1135

具體詳見：更加詳細哦）