如果s是乙個多重集，那麼s的乙個r-排列是s的r個元素的乙個有序的排放。
令s是乙個多重集，它有k個不同的型別元素，每乙個元素有無限重複次數,那麼s的r-排列的個數為k^r
該定理證明較為容易，主要是對於s的k個不同種類的元素的重複數都至少為r的時候，那麼這個定理是成立的。
例題最多4為數字的三進製個數是多少？
，或者4-排列個數。所以根據定理個數為3^4 = 81
現在另外一種多重集的排列數，該集合有k個不同型別的元素，每個元素重複次數有限。
令s是乙個多重集，有k個不同型別的元素，各個元素重複次數分別為n1,n2,...nk,設s的大小為n = n1+ n2 +...nk.則s的排列數目為
n! / n1!n2!...nk!
證明：對於元素a1...ak分別有n1,n2,....nk元素的總個數為n = n1 +n2+...nk.確定n個元素的排列數目。現在存在n個位置，可以首先確定哪些位置用於a1.
由於一共有n1個a1,那麼有c(n,n1),剩下n-n1個位置，那麼選擇n2個給a2,那麼有c(n-n1,n2) 而a3則有c(n-n1-n2,n3)
所以總排列數目為c(n,n1)c(n-n1,n2)c(n-n1-n2,n3)......c(n-n1-n2-...nk-1,nk)
化簡後得到證明
例題單詞mississippi中字母的排列數目是
由於是排列所有的單詞多重集為那麼按照定理有11! / 1!4!4!2!
對於定理2.可以有其他解釋方法
例題 考慮4個元素集合它要被劃分成兩個集合，每個大小為2。如果這兩部分沒有標籤那麼存在,,,,,而如果制定a,bc,d的顏色那麼更多
所以理解定理2.方法2
讓n是乙個正整數，n1,n2,....nk是正整數並且n = n1+n2+..nk.將n個元素的集合劃分成k個被做成標籤的b1，b2，...bk其中b1含有n1個元素，。。。盒子k含有nk個元素。
那麼得到是依次放入盒子中c(n,n1)c(n-n1,n2).....c(n-n1-n2-...nk-1,nk)
如果對於盒子不做標籤，那麼有k!種方法貼標籤，所以用除法原理可以得到n! / k! n! n2!...nk!
例題，找出8*8棋盤上對於8個非攻擊型車有多少可能的方法？
分析對於棋盤每個方塊的一對座標(i,j)棋盤上有8個車不能彼此攻擊每行上恰好有個車。
(1,j1)(2,j2)...(8,j8)同時每一列有乙個車。所以j1,j2..j8沒有相同的。就是的乙個排列。反過來也成立，所以8*8棋盤上8個非攻擊性車與的排列之間是乙個一一對應的關係。所以有8！個排列
不過上面是針對8種相同的車，如果8個不相同的車，那麼要考慮8個被佔據的方塊是哪個車。所以先決定哪8個塊被佔據，然後再去確定每個塊是什麼顏色，而8個顏色也是乙個8！排列所以不同顏色的非攻擊放置方法就有8!8!
進一步假設如果1個紅車，3個藍，4個黃的話根據定理有8！/ 1!3!4!
所以放置8*8放置後不能互相攻擊的方法數為8！8！/ 1!3!4!
但是可以發現上述都是針對n=n1+n2+...nk的情況，如果排列r例題 3中型別9個元素多重集s=求s的8排列個數
1）的8排列為8!/2!2!4! = 420
2) 的8排列為 8!/3!1!4! = 280
3)的8排列為8!/3!2!3! = 560
如果s是乙個多重集，那麼s的r-組合是s中的r個元素的乙個無序選擇。
例題如何s=那麼s的3-組合有
,,,定理領s為具有k種型別元素的乙個多重集，每種元素均具有無限的重複數，則s的r-組合個數等於
c(r+k-1,r) = c(r+k-1,k-1)
證明：s =
則s的任何乙個r-組合均是 x1+x2+...xk = r;
因此s的r-組合的個數等於方程x1+x2+...xk = r的解的個數那麼如何求解可以往k個數中新增空格
那麼可以看做有k種型別不同的x每種有xi個，那麼轉換成了多重集排列問題
所以為(r+k-1)! / r! (k-1)!
同樣我們可以這樣求解，可以將看做由兩部分組成一部分是1有r個1，另一部分是劃分xi,xj之間的*
那麼就有t=所以對應多重集的排列所以有(r+k-1)! / r! (k-1)!
這是無限個數的k種不同型別的r-組合個數
例題麵包房8種炸麵包圈，如果一盒內裝有12，那麼你可以買到多少種不同的盒裝麵餅圈
那麼類似上面證明t = 則轉換成x1 + x2 + ..x8 = 12;
所以就有所以8種型別的多重集的12-組合數是(12+8-1,12) = (19,12)
例題 其項取自1,2.。。k的長度為r的非減序列個數是多少？
分析可以得知有k種型別的多重集，長度為r就是r-組合數
那麼首先選出的組合數有(k+r-1,k)然後進行排序只能以遞增的方式排列
所以就是(k+r-1,k)
上面均是討論沒有限制的多重集的個數，如果加上限制數量那麼
例題 令 s是具有4種元素a,b,c,d的多重集s的使得4種元素每種至少出現一次的10-組合數目是多少？
x1 + x2 +x3 +x4 = 10
同時發現r<=xi那麼可以用上面方法進行計算，但是又有限制條件每種至少出現一次
那麼可以用代換法 y1 = x1-1 ,y2 = x2-1,y3 = x3 -1,y4 = x4-1
方程變為 y1 + y2 + y3 + y4 = 6;
這些數都是非負的，那麼可以由前面的定理 ( 6+4-1,6) = (9,6 ) = 84;
例題求解方程 x1 + x2 +x3 +x4 = 20
的整數解的個數？
x1>=3,x2>=1 x3>=0,x4>=5;
y1 = x1 - 3,y2 = x2 -1 y3 = x3 y4 = x4 -5;
y1 + y2 + y3 +y4 = 11
所以解的個非負解的個數為(11+4-1,11) = (14,11) = 364
排列與組合 組合數學
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