前面我們已經介紹過矩陣的兩個重要空間：列空間和零空間，今天繼續介紹矩陣的另外兩個重要空間：行空間和左零空間。a的行空間就是at的列空間，a的左零空間就是at的零空間，文字描述起來比較拗口，用數學符號表示一下就會簡單明瞭：對於矩陣a，其列空間是c(a)，零空間n(a)，行空間是c(at)，左零空間是n(at)。注意，雖然今天新增的這兩個空間涉及at ，但我們還是從a的角度去看待這兩個子空間。
4個子空間的維數分別是多少？
a為m*n矩陣，秩為r，a的零空間n(a)裡都是n維向量，所以n(a)是rn的子空間，列空間c(a)是所有列的線性組合，每列是m維，所以c(a)是rm的子空間，同樣行空間c(at)是rn的子空間，而左零空間n(at)是rm的子空間，首先結合以前的知識，我們知道列空間c(a)的維數是r，零空間n(a)維數是n-r，行空間c(at)維數是r（a轉置的主元數與a的主元數是相同的），左零空間n(at)是m-r。
4個子空間的基分別是什麼？
對於列空間，我們已經學會使用消元確定主元列，而主元列就是c(a)的一組基，對於零空間，我們也可以學會利用行最簡式去尋找基，即特殊解，那麼對於行空間和左零空間，我們當然也可以將矩陣a轉置後再採用相同的方法去求，但直覺告訴我們求行空間的基、左零空間的基應該有更便捷的方法，那我們就可以減少工作量了。
我們在求列空間時，會對矩陣a進行消元並化簡，如下所示，最終將a化到行最簡式r，
很明顯r的列空間不等於a的列空間
以上是對行空間基的分析，接下來介紹a的左零空間的基，首先提一下為什麼要取名叫a的左零空間，這個名字並不是隨便取的，求左零空間也就是求滿足a
ty=0的y，前面已經說過，雖然其中有a
t，但我們要從a的角度去看，所以對a
ty=0兩邊求轉置以將轉置去掉，得到y
ta=0
t，現在理解為什麼稱之為a的左零空間了吧。言歸正傳，接著討論如何求左零空間的基，我們以前曾經用gauss-jordon消元法求解乙個方陣的逆，還以上面的a為例，現在我們把這個方法用於求左零空間的基，當然我們不是用來求a的逆，因為上面的例子中a不是方陣，其逆肯定不存在。gauss-jordon消元過程為
t，又因為e*a=r，因此我們就找到了這樣的y
t，所以e的第3行就是a的行空間的基，從e中我們不僅可以得到左零空間的維數，還能求出整個左零空間，對於上面這個例子，左零空間的維數是1，基只有乙個向量。以上就是求左零空間基的方法，其實求消元矩陣e也不是一件容易的事，但是至少我們不需要把矩陣轉置然後從頭開始計算。
08 矩陣的四個基本子空間
設有矩陣a，設矩陣的秩為r 四個子空間如下 我們已經很熟悉列空間了 我們可以很容易地找到列空間的乙個基 矩陣的所有主列就是乙個基向量 所以列空間的基有r個基向量，列空間的維數等於秩r 結論1 列空間維數等於秩 對於矩陣a，其行最簡形式r的前r行就是矩陣的行空間的乙個基 所以行空間的維數也為r 結論2...
Lecture 10 四個基本子空間
四個基本子空間 列空間 column space c a 零空間 null space n a 行空間 row space c a t 左零空間 n a t c a t 和 n a 在 r n 中，c a 和 n a t 在 r m 中 dim c a r 所有主元列構成一組基 dim c a t ...
線性代數之 四個基本子空間
1.四個基本子空間 2.r rr 的四個基本子空間 假設 a aa 的最簡行階梯形式為 r rr，我們可以很容易地從 r rr 找到四個子空間。矩陣 r rr 中有兩個主元，因此其秩為 2。行空間的維數等於秩，為 2，其中乙個基可以取 r rr 的前兩行。列空間的維數等於秩，為 2，主元所在的列為第...