Manacher演算法總結

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所謂回文串，簡單來說就是正著讀和反著讀都是一樣的字串，比如abba，noon等等，乙個字串的最長回文子串即為這個字串的子串中，是回文串的最長的那個。

下面介紹manacher演算法的原理與步驟。

首先，manacher演算法提供了一種巧妙地辦法，將長度為奇數的回文串和長度為偶數的回文串一起考慮，具體做法是，在原字串的每個相鄰兩個字元中間插入乙個分隔符，同時在首尾也要新增乙個分隔符，分隔符的要求是不在原串中出現，一般情況下可以用#號。下面舉乙個例子：

manacher演算法用乙個輔助陣列len[i]表示以字元t[i]為中心的最長回文字串的最右字元到t[i]的長度，比如以t[i]為中心的最長回文字串是t[l,r],那麼len[i]=r-i+1。

對於上面的例子，可以得出len[i]陣列為:

len陣列有乙個性質，那就是len[i]-1就是該回文子串在原字串s中的長度，至於證明，首先在轉換得到的字串t中，所有的回文字串的長度都為奇數，那麼對於以t[i]為中心的最長回文字串，其長度就為2*len[i]-1,經過觀察可知，t中所有的回文子串，其中分隔符的數量一定比其他字元的數量多1，也就是有len[i]個分隔符，剩下len[i]-1個字元來自原字串，所以該回文串在原字串中的長度就為len[i]-1。

首先從左往右依次計算len[i]，當計算len[i]時，len[j](0<=j

第一種情況：i<=p

那麼找到i相對於po的對稱位置，設為j，那麼如果len[j]

那麼說明以j為中心的回文串一定在以po為中心的回文串的內部，且j和i關於位置po對稱，由回文串的定義可知，乙個回文串反過來還是乙個回文串，所以以i為中心的回文串的長度至少和以j為中心的回文串一樣，即len[i]>=len[j]。因為len[j]

如果len[j]>=p-i,由對稱性，說明以i為中心的回文串可能會延伸到p之外，而大於p的部分我們還沒有進行匹配，所以要從p+1位置開始乙個乙個進行匹配，直到發生失配，從而更新p和對應的po以及len[i]。

第二種情況: i>p

如果i比p還要大，說明對於中點為i的回文串還一點都沒有匹配，這個時候，就只能老老實實地乙個乙個匹配了，匹配完成後要更新p的位置和對應的po以及len[i]。

manacher演算法的時間複雜度分析和z演算法類似，因為演算法只有遇到還沒有匹配的位置時才進行匹配，已經匹配過的位置不再進行匹配，所以對於t字串中的每乙個位置，只進行一次匹配，所以manacher演算法的總體時間複雜度為o(n)，其中n為t字串的長度，由於t的長度事實上是s的兩倍，所以時間複雜度依然是線性的。

下面是演算法的實現，注意，為了避免更新p的時候導致越界，我們在字串t的前增加乙個特殊字元，比如說『$』,所以演算法中字串是從1開始的。

const int maxn=1000010;
char str[maxn];//原字串
char tmp[maxn<<1];//轉換後的字串
int len[maxn<<1];
//轉換原始串
int init(char *st)
tmp[2*len+1]='#';
tmp[2*len+2]='$';//字串結尾加乙個字元，防止越界
tmp[2*len+3]=0;
return 2*len+1;//返回轉換字串的長度
}//manacher演算法計算過程
int manacher(char *st,int len)
ans=max(ans,len[i]);
}return ans-1;//返回len[i]中的最大值-1即為原串的最長回文子串額長度 
}

manacher演算法:

定義陣列p[i]表示以i為中心的(包含i這個字元)回文串半徑長

將字串s從前掃到後for(int i=0;i由於s是從前掃到後的,所以需要計算p[i]時一定已經計算好了p[1]....p[i-1]

假設現在掃瞄到了i+k這個位置,現在需要計算p[i+k]

定義maxlen是i+k位置前所有回文串中能延伸到的最右端的位置,即maxlen=p[i]+i;//p[i]+i表示最大的

分兩種情況:

1.i+k這個位置不在前面的任何回文串中,即i+k>maxlen,則初始化p[i+k]=1;//本身是回文串

然後p[i+k]左右延伸,即while(s[i+k+p[i+k]] == s[i+k-p[i+k]])++p[i+k]

2.i+k這個位置被前面以位置i為中心的回文串包含,即maxlen>i+k

這樣的話p[i+k]就不是從1開始

由於回文串的性質,可知i+k這個位置關於i與i-k對稱,

所以p[i+k]分為以下3種情況得出

//黑色是i的回文串範圍,藍色是i-k的回文串範圍,

Manacher演算法總結

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