最小生成樹(minimum spanning tree),全稱「最小權值生成樹」。在含有n個頂點的連通圖中選擇n-1條邊，構成一棵極小連通子圖，並使該連通子圖中n-1條邊上權值之和達到最小，則稱其為連通網的最小生成樹。
有兩種具體的實現演算法
①.kruskal演算法
②.prim演算法
兩者都用到了貪心演算法。
1：最小生成樹的形成
在每次迴圈之前，我們要保證集合a是某棵最小生成樹的乙個子集。
在每一步，我們要做的是選擇一條邊(u,v)，將其加入到集合a中，使得a不違反迴圈不變式。我們稱這樣的邊為安全邊。
generic_mst(g, w)
a while a does not form a spanning tree
do find an edge(u, v) that is safe for a
a return a
（1）演算法介紹
基本思想：按照權值從小到大的順序選擇n-1條邊，並保證這n-1條邊不構成迴路。
具體做法：首先構造乙個只含n個頂點的森林，然後依權值從小到大從連通網中選擇邊加入到森林中，並使森林中不產生迴路，直至森林變成一棵樹為止。
（2）圖示
以上圖g4為例，來對克魯斯卡爾進行演示(假設，用陣列r儲存最小生成樹結果)。
第1步：將邊加入r中。
邊的權值最小，因此將它加入到最小生成樹結果r中。
第2步：將邊加入r中。
上一步操作之後，邊的權值最小，因此將它加入到最小生成樹結果r中。
第3步：將邊加入r中。
上一步操作之後，邊的權值最小，因此將它加入到最小生成樹結果r中。
第4步：將邊加入r中。
上一步操作之後，邊的權值最小，但會和已有的邊構成迴路；因此，跳過邊。同理，跳過邊。將邊加入到最小生成樹結果r中。
第5步：將邊加入r中。
上一步操作之後，邊的權值最小，因此將它加入到最小生成樹結果r中。
第6步：將邊加入r中。
上一步操作之後，邊的權值最小，但會和已有的邊構成迴路；因此，跳過邊。同理，跳過邊。將邊加入到最小生成樹結果r中。
此時，最小生成樹構造完成！它包括的邊依次是：。
（3）演算法解析
根據前面介紹的克魯斯卡爾演算法的基本思想和做法，我們能夠了解到，克魯斯卡爾演算法重點需要解決的以下兩個問題：
問題一對圖的所有邊按照權值大小進行排序。
問題二將邊新增到最小生成樹中時，怎麼樣判斷是否形成了迴路。
問題一很好解決，採用排序演算法進行排序即可。
問題二，處理方式是：記錄頂點在"最小生成樹"中的終點，頂點的終點是"在最小生成樹中與它連通的最大頂點"(關於這一點，後面會通過給出說明)。然後每次需要將一條邊新增到最小生存樹時，判斷該邊的兩個頂點的終點是否重合，重合的話則會構成迴路。 以下圖來進行說明：
在將加入到最小生成樹r中之後，這幾條邊的頂點就都有了終點：
(01)c的終點是f。關於終點，就是將所有頂點按照從小到大的順序排列好之後；某個頂點的終點就是"與它連通的最大頂點"。 因此，接下來，雖然是權值最小的邊。但是c和e的重點都是f，即它們的終點相同，因此，將加入最小生成樹的話，會形成迴路。這就是判斷迴路的方式。(02)d的終點是f。
(03)e的終點是f。
(04)f的終點是f。
（4）基本定義
// 鄰接矩陣
typedef struct _graph
graph, *pgraph;
// 邊的結構體
typedef struct _edgedata
edata;
vexs用於儲存頂點，vexnum是頂點數，edgnum是邊數；matrix則是用於儲存矩陣資訊的二維陣列。例如，matrix[i][j]=1，則表示"頂點i(即vexs[i])"和"頂點j(即vexs[j])"是鄰接點；matrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點。
edata是鄰接矩陣邊對應的結構體。
（5）演算法實現
3：普里姆(prim)演算法
（1）演算法介紹
普里姆(prim)演算法，和克魯斯卡爾演算法一樣，是用來求加權連通圖的最小生成樹的演算法。
基本思想
對於圖g而言，v是所有頂點的集合；現在，設定兩個新的集合u和t，其中u用於存放g的最小生成樹中的頂點，t存放g的最小生成樹中的邊。 從所有uєu，vє(v-u) (v-u表示出去u的所有頂點)的邊中選取權值最小的邊(u, v)，將頂點v加入集合u中，將邊(u, v)加入集合t中，如此不斷重複，直到u=v為止，最小生成樹構造完畢，這時集合t中包含了最小生成樹中的所有邊。
（2）圖示
以上圖g4為例，來對普里姆進行演示(從第乙個頂點a開始通過普里姆演算法生成最小生成樹)。
初始狀態：v是所有頂點的集合，即v=；u和t都是空！
第1步：將頂點a加入到u中。
此時，u=。
第2步：將頂點b加入到u中。
上一步操作之後，u=, v-u=；因此，邊(a,b)的權值最小。將頂點b新增到u中；此時，u=。
第3步：將頂點f加入到u中。
上一步操作之後，u=, v-u=；因此，邊(b,f)的權值最小。將頂點f新增到u中；此時，u=。
第4步：將頂點e加入到u中。
上一步操作之後，u=, v-u=；因此，邊(f,e)的權值最小。將頂點e新增到u中；此時，u=。
第5步：將頂點d加入到u中。
上一步操作之後，u=, v-u=；因此，邊(e,d)的權值最小。將頂點d新增到u中；此時，u=。
第6步：將頂點c加入到u中。
上一步操作之後，u=, v-u=；因此，邊(d,c)的權值最小。將頂點c新增到u中；此時，u=。
第7步：將頂點g加入到u中。
上一步操作之後，u=, v-u=；因此，邊(f,g)的權值最小。將頂點g新增到u中；此時，u=v。
此時，最小生成樹構造完成！它包括的頂點依次是：a b f e d c g。
（3）基本定義
// 鄰接矩陣
typedef struct _graph
graph, *pgraph;
// 邊的結構體
typedef struct _edgedata
edata;
vexs用於儲存頂點，vexnum是頂點數，edgnum是邊數；matrix則是用於儲存矩陣資訊的二維陣列。例如，matrix[i][j]=1，則表示"頂點i(即vexs[i])"和"頂點j(即vexs[j])"是鄰接點；matrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點。
edata是鄰接矩陣邊對應的結構體。
（4）演算法實現
4：時間複雜度分析
對於克魯斯卡爾(kruskal)演算法：時間複雜度為o(elgv)
對於普里姆(prim)演算法：
其取決於最小優先佇列q的實現方式，時間複雜度與克魯斯卡爾(kruskal)演算法相同，o(elgv)。
如果使用斐波那契堆來實現最小優先佇列，時間複雜度為o(e+vlgv)。
最小生成樹（演算法導論第23章）
下面討論的兩種最小生成樹演算法都是貪心演算法。貪心演算法的每一步必須在多個可能的選擇中選擇一種，貪心演算法選擇在當前看來最好的選擇。通用演算法是每個時刻生長最小生成樹的一條邊 安全邊 並在整個策略的實施過程中，管理乙個遵守下述迴圈不變式的邊集合a 在每遍迴圈之前，a是某棵最小生成樹的子集。gener...
《演算法導論》第23章 最小生成樹
在上圖中，就是邊cd。這兩個定理看不懂沒關係，不影響後面學習kruskal演算法與prim演算法。kruskal演算法 我的理解 1 尋找權值最小的邊，如果邊的兩個頂點屬於不同的集合就加入到a 2 重複過程1，直到找到n 1條邊 第一點中分集合的方法我借鑑了wxdjss的部落格，以下是他的部落格鏈結...
演算法導論 最小生成樹
華電北風吹 日期 2016 1 16 常用的最小生成樹演算法有prime演算法和kruskal演算法。prime演算法基於節點，kruskal基於邊。1 prime演算法 prime演算法屬於貪心演算法，與廣度優先搜尋類似。保持乙個屬於已發現的最小生成樹節點的集合。每一次從未在樹中的節點中選擇乙個與...