整數劃分問題

整數劃分問題

**：數 n 的劃分是將 n 表示成多個正整數之和的形式

劃分可以分為兩種情況：

a  劃分的多個正整數中，正整數的數量是任意的

這又可以分為劃分的正整數中，正整數可以相同與不同兩類

1.  劃分的多個正整數可以相同, 遞推方程可以表示為：

(1)   dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m]

dp[n][m]表示整數 n 的劃分中，每個數不大於 m 的劃分數。

則劃分數可以分為兩種情況:

a. 劃分中每個數都小於 m， 相當於每個數不大於 m- 1, 故

劃分數為 dp[n][m-1].

b. 劃分中有乙個數為 m. 那就在 n中減去 m , 剩下的就相當

於把 n-m 進行劃分， 故劃分數為 dp[n-m][m];

(2)   dp[n][m]= dp[n][m+1]+ dp[n-m][m]

dp[n][m]表示整數 n 的劃分中，每個數不小於 m 的劃分數。

同理可證明該式。

2.  劃分的多個正整數互不相同，遞推方程可以表示為：

(1)    dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m-1]

dp[n][m]表示整數 n 的劃分中，每個數不大於 m 的劃分數。

同樣劃分情況分為兩種情況：

a.  劃分中每個數都小於 m, 相當於每個數不大於 m- 1, 

劃分數為 dp[n][m-1].

b.  劃分中有乙個數為 m. 在 n 中減去 m, 剩下相當對

n- m 進行劃分，並且每乙個數不大於 m- 1，故劃分數

為 dp[n-m][m-1]

(2)    dp[n][m]= dp[n][m+1]+ dp[n-m][m]

dp[n][m]表示整數 n 的劃分中，每個數不小於 m 的劃分數。

b  劃分的多個正整數中，正整數的數量是固定的

把乙個整數 n 無序劃分成 k 份互不相同的正整數之和的方法總數。

方程為：

dp[n][k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1];

證明方法參考： 

另一種理解，總方法可以分為兩類：

第一類: n 份中不包含 1 的分法，為保證每份都 >= 2，可以先拿出 k 個 1 分

到每乙份，然後再把剩下的 n- k 分成 k 份即可，分法有: dp[n-k][k]

第二類: n 份中至少有乙份為 1 的分法，可以先那齣乙個 1 作為單獨的1份，剩

下的 n- 1 再分成 k- 1 份即可，分法有：dp[n-1][k-1]

整數劃分問題

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