重新開始戰鬥13 程式設計之美最大公約數問題

問題描述：

求兩個整數的最大公約數，如果這兩個數很大，演算法該如何改

分析與解法一：

歐幾里得演算法——輾轉相除，這是很經典的求最大公約數問題，其原理描述如下：兩個數x，y，x>y，則x=ky+b，如果乙個數m能整除x與y，即x/m沒有餘數，y/m沒有餘數，則x/m=ky/m+b/m，所以，b/m是沒有餘數的，這說明x，y若能被m整除，則y，b也能被m整除，這就是輾轉的原理。

分析與解法二：

歐幾里得演算法的原理是除，要知道，除是很消耗cpu的時鐘的，所以有必要進行進一步的改進。從歐幾里得演算法可以得到啟發，若x，y都能被m整除，可以很容易得到結論，x-y，y都能被m整除，那麼不斷輾轉相減，就可以得到最後的最大公約數。

這個演算法，免去了大整數除法的繁瑣，但是也有不足之處。例如遇到（100000000000,1）這種情況就不好了。

分析與解法三：

第三種解法利用上面兩種解法，通俗的講，每一次的迭代，該用減法還是除法，根據上一步的迭代結果而定。

具體的講，演算法改進的目標是：1）盡量減小迭代次數；2）盡量少用除模運算。

有趣的是用除模運算可以大幅度減小迭代的次數，但是這與盡量少用除模運算想矛盾，因此，演算法的目的在於在除模與減法運算之間找到乙個平衡點。

注意以下兩點性質：

1）若(x,y)能被m整除，那麼f(x,y)=m(x/m,y/m)；

2）若x=p*x1，且p為素數，不能整除y，那麼f(x,y)=f(px1,y)=f(x1,y)。

關鍵在於第二點，乙個數x如果可以分解為乙個素數p和另乙個數相乘x1，且這個y%p不等於0，那麼x1與y的最大公約數等於x與y，這是乙個很好的用除法減小迭代次數的方法。那麼如何知道乙個數是否能被乙個素數相除？

應該想到2是乙個素數，能不能被2整除，也就是進行奇偶判定。因此，演算法的思路如下：

1）x，y為偶數，f(x,y)=2f(x>>1,y>>1)

2）x為偶，y為奇，f(x,y)=f(x>>1,y)

3）x為奇，y為偶，f(x,y)=f(x,y>>1)

4）x，y為奇，f(x,y)=f(x-y,y)

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