最短路問題
一般都表現為求兩點之間的某種最小代價（如距離、時間、花費、成本等），可具體分為單源最短路和多源最短路，往往還要附加乙個前驅陣列記錄路徑。
單源最短路：
就是求某一點到其它所有點的最短路，這種問題我一般直接採用spfa+鄰接表，至於前向星優化的spfa沒寫過，寫過一次spfa+鏈式前向星可是wa掉了，所以我一般只採用鍊錶寫，而且寫多了也不覺得麻煩。spfa時間效率很高，為o（ke），可證明在絕大多數情況下k是乙個不超過2的常數，所以呢spfa演算法很快的，唯一的缺點我想應該就是不能做帶負環的圖(其它經典演算法都不能做負環的圖》~~<)。spfa與bfs很像，所以我經常寫錯，spfa與bfs的最大的區別就是每個點可能會多次進隊（因為某種次序的原因導致每個點會出現多次被更新的情況），而bfs每個點只能進一次隊，因此spfa具體實現時，一定要把剛出隊的點重新標誌為未訪問的點。spaf其實是bellman-ford的佇列優化，是直接在點上的鬆弛。
q[rear=front=1]=s;
p[s]=1;
d[s]=0;
while (front<=rear)
}++front;
}
至於bellman-ford演算法，我一般不用它來求最短路，但它可以方便的判斷乙個圖中是否存在負環，bellman-ford演算法可以處理負權圖，但同樣不能做帶負環的圖。它是在邊上的鬆弛，多趟對所有邊進行鬆弛判斷，有些邊不用鬆弛致使了大量冗餘判斷，這就是為啥其速度比不上spaf。具體實現時，因為是在邊上的鬆弛，所以最好採用邊集陣列存圖，而且這裡有個優化，就是如果某趟鬆弛判斷中沒有任何邊可鬆弛，即表明了最終結果已求出，可結束bellamn-ford的執行。
（問題背景：nyoj115 城市平亂~~）
#include#include#define max 1000000000
struct edgenodee[100000];
int num;
void addedge(const int &u,const int &v,const int &w)
int main()
} int min=max;
for (i=0;i
dijkstra演算法就更少寫了，其一其使用範圍窄，連負權的都不能處理，其二是樸素的dijkstra效率不高，大圖就掛了。。而採用最小堆優化或者優先佇列優化的dijkstra效率很高，能達到o（nlogn），最適合稠密圖了。
這裡指貼上最小堆優化的dijstra**：
#include#include#include#define maxn 50000
#define inf 0x7fffffff
struct edgenode;
struct vexnodeg[maxn];
struct heap;
heap heap[maxn*10];
int t,n,m,q,dis[maxn],len;
void insert(const heap &in)
heap[u]=in;
}const heap& pop()
if (heap[child].disnext)
if (!used[p->adjvex])
for (i=0;iadjvex=v;
s->weight=w;
s->next=g[u].firstedge;
g[u].firstedge=s;
} dijstra();
for (i=1;i<=t;++i)
if (dis[i]==inf) printf("no path\n");
else printf("%d\n",dis[i]);
// while (1);
return 0;
}
多源最短路：
可以採用spfa+前向星多次求單源最短路，時間效率為o（ve），還是很可以的~
flyod呢就很少用，除非圖比較小。我認為floyd最重要的是其中的思想，即dp。
flyod的dp方程是d[k,i,j]=min(d[k,i,j],d[k-1,i,k]+d[k-1,k,j]),
初始態為：
map[i,j] (i,j)∈e
d[0,i,j]=
map[i,j] (i,j)∈e
如果圖map後面不用的話，可以直接把d當成map用。由於階段k在狀態方程中是連續的，所以在具體實現時可採用二維陣列來迭代。
//普通的flyod
for (k=1;k<=n;++k)
for (i=1;i<=n;++i)
for （j=1;j<=n;++j）
if (d[i][j]>d[i][k]+d[k][j])
d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];
//如果圖為無向圖的話，具體實現可以如下：
for (k=1;k<=n;++k)
for (i=1;id[i][k]+d[k][j])
d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];
最短路徑拓展：
拓展1：就是利用flyod求最小環問題。思想還是dp思想，假設環的最大點編號為k，那麼對於無向圖來說，乙個環至少需要三個點，那麼假設與k直接相連的點編號為i、j，那麼
以k為最大編號的環的最小值是
circle[k,i,j]=min(circle[k,i,j],d[k-1,i,j]+map[k,i]+map[k,j])
拓展2：求出兩點最短路徑的數目
設p[i,j]表示i和j最短路徑數目，
那麼在用k來鬆弛後，p[i,j]=p[i,k]*p[k,j];
拓展3：
如何巧妙的判斷乙個點是否在i和j的最短路徑上，利用
if (d[i,k]+d[k,j]==d[i,j])在；
else 不在；
最短路總結
寫個部落格記錄一下最短路的幾種演算法，盡量做最正確的解答，減少大家的疑惑，網上有好多講的都抄來抄去，還有好多講的都是錯誤的。熟悉的最短路演算法就幾種 bellman ford，dijkstra，spfa，floyd，下面針對這幾個演算法具體解析一下。首先說明一點，就是關於負環的問題。bellman ...
最短路總結
穿越空間的限制，走最短的路找到你 u v之間的最短路滿足以下限制 對任意k g v,e 有 dist u,v dis u,k dis k,j 關鍵操作 鬆弛 void relax int i,int j,int k floyd void floyd 複雜度o v 3 可處理負環 拓展把所有邊存成負的...
最短路總結
首先是dij演算法，這是我第乙個掌握的最短路演算法！再來是bellman ford演算法，這個演算法比較容易理解，而且考慮到了負環的存在。記住，它對圖中的邊進行了 v 1次操作！首先，對d進行初始化 還有乙個spfa演算法 摘錄於學長空間 設立乙個先進先出的佇列用來儲存待優化的結點，優化時每次取出隊...