顧名思義就是尋找乙個源點到其它的點的最短路，暴力的dfs或者bfs就不說了，下面講講幾種單源最短路的演算法。
這個演算法的實質就是利用bfs，我們先將源點到源點的距離設定為0，到其它的距離設定為無窮大（一般0x7fffffff），然後將源點加入佇列，用隊首的點去bfs，更新它能到達且能更新的的點，然後將未進入佇列的點加入佇列以備後續更新使用，然後將已經出隊的點標記消掉，不斷這樣進行這個操作（這個也就是鬆弛操作），最後無法再更新任何乙個點時，隊列為空，最短路也就找完了，理論複雜度為o(
kn)'>o(k
n)o(
kn)，
k'>k
k為進隊次數，一般k≤
'>k≤k
≤常數。
這個演算法在一般的圖和隨機圖上面執行效果良好，但是在一些精心構造的圖上面就會卡到複雜度上限o(
nm)'>o(n
m)o(
nm)（每個點進隊m次）。
下面介紹另一種演算法。
這個演算法同樣是用bfs，每次找到距離源點最近的且未被用過的點，然後拿它去更新其它點，而這個點以後再也不會被更新到（除非有負環，那麼普通的dijistra就無法使用），這樣每個點只會用來更新一次其它點，每次尋找最近的點暴力複雜度為o(
n)'>o(n
)o(n
)，然後更新的複雜度為它的度數（一般看作常數，除非菊花圖），所以複雜度總的來說為o(
n2)'>o(n
2)o(
n2)。
我們發現上述的演算法中，有乙個尋找最近點的o(
n)'>o(n
)o(n
)，可以拿乙個資料結構維護，將o(
n)'>o(n
)o(n
)降到o(
logn
)'>o(l
ogn)
o(lo
gn)，那麼維護最小值我們可以簡單的使用堆（自己手打或者stl的優先佇列），那麼該演算法就被優化到了o(
nlog
n)'>o(n
logn
)o(n
logn
)，雖然一般圖和隨機圖跑的沒有sfpa快，但是在精心構造的圖上面，它複雜度的優秀性就體現出來了。（noi2018的day1t1可以說明）
多源最短路，就是求圖上的每乙個點到其它點的最短距離，樸素簡單的想法就是跑
n'>n
n遍單源最短路演算法，但是這裡還有其它的演算法可以解決這個問題。
這個演算法實質上是利用了動態規劃，dp的思想，我們定義如下狀態f[
i][j
]'>f[i
][j]
f[i]
[j]，表示i⇒
j'>i⇒j
i⇒j的最短路長度，然後我們列舉乙個中轉點
k'>k
k，用它去不斷更新其它情況，轉移方程為f[
i][j
]=mi
n(f[
i][j
],f[
i][k
]+f[
k][j
])'>f[i
][j]
=min
(f[i
][j]
,f[i
][k]
+f[k
][j]
)f[i
][j]
=min
(f[i
][j]
,f[i
][k]
+f[k
][j]
)。這樣n3
'>n3n
3就可以求出多源最短路。（其實似乎跑
n'>n
n邊dijistra+堆優化好像才o(
n2lo
gn)'>o(n
2log
n)o(
n2lo
gn)的複雜度，不過floyd的常數明顯較小）。
這個演算法還有個用途，其實從它的轉移上都可以看出，我們可以求必須經過某個點的多源最短路，這時就不用列舉中轉點，而是已知中轉點，然後去更新答案，複雜度為o(
n2)'>o(n
2)o(
n2)。
a-star（a*）啟發式搜尋演算法，原理是dfs時利用乙個估計函式來剪枝。
後面待更新完善……
最短路演算法總結
1.floyd演算法 n 3複雜度 基本思想 開始設集合s的初始狀態為空，然後依次將0,1，n 1定點加入，同時用d i j 儲存從i到j，僅經過s中的定點的最短路徑，在初始時刻，d i j a i j 中間不經過任何節點，然後依次向s中插入節點，並進行如下更新 d k i j min 還可以使用乙...
最短路演算法總結
藉著usaco 3.26搞了幾天最短路。不得不說usaco真是菜鳥學習演算法的利器啊，有資料可以查錯。題上是乙個800 800的稀疏圖，需要求全源最短路 先用floyd試了一下。畢竟就三行，很好寫。時間o n3 裸交第九個點果然tle了，不過看題解有人水過了 就把邏輯語言改了一下，無向圖時間又可以優...
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dijkstra演算法 dijkstra 迪傑斯特拉 演算法是典型的單源最短路徑演算法，用於計算乙個節點到其他所有節點的最短路徑。最常見的問題就是 給你一張地圖，讓你求出指定的點到其餘各定點的最短路徑。演算法核心 每次找到離源點最近的乙個頂點，然後以該頂點為中心進行擴充套件，最終的到源點到其餘所有點...