第二章：
目標：學習向量範數、矩陣範數、運算元範數的概念、性質與計算
一、向量範數
向量範數
判定條件：正定性、齊次性、三角不等式(兩邊之和大於第三邊）
性 質：0範數為
0；三角不等式
(兩邊之差小於第三邊）
holder範數，也即
p範數（
p>=1)。p
範數包括向量
1範數、向量
2範數、向量無窮範數
holder不等式：
不同範數的等價性（夾逼定理）。vn(p)上的任意兩個向量範數均等價。
向量範數推廣到連續，向量範數的收斂性。
二、矩陣範數
矩陣範數判定條件：正定性、齊次性、三角不等式(兩邊之和大於第三邊），則稱對映為p(m*n)上的矩陣範數。
矩陣1範數、矩陣
2範數（
f範數）、矩陣無窮範數公式。
不同範數滿足公式則互相容，同一種範數滿足公式則自相容。
證明矩陣1範數、矩陣
2範數（
f範數），
g範數，
a範數是相容的，通過柯西不等式，放**（因子放大提取，乘積放大提取，整列放大提取等），圍繞著目標不等式進行放大。
證明矩陣無窮不是自相容的。
矩陣2範數（
f範數）的重要性質：
1）酉不變性 2）
2範數與跡
tr(a^h*a)
的關係
3)矩陣
2範數與列向量的求和關係
三、運算元範數
通過該公式證明矩陣1範數、矩陣
2範數（
f範數）分別與向量
1範數、向量
2範數相容。
運算元範數定義公式：
該定理本質上是通過向量範數推出矩陣範數，因此定理的證明是利用向量範數的判決條件來證明的。
性質：運算元範數本質上是矩陣範數，只不過是最小的（自相容）矩陣範數。運算元範數之間是自相容的。
對於給定的（自相容）矩陣範數，通過上述公式，找出對應的向量範數。通過矩陣範數來表徵向量範數，因此，證明該向量範數的存在仍通過矩陣範數的判決來證。
和運算元範數定義證明剛好相反。
性質：矩陣a的特徵值小於相容的矩陣範數。（在特徵值估計時經常用到）。
計算：1）運算元
1範數公式，被稱為極大列和範數。
2）運算元無窮範數公式，被稱為極大行和範數。
二者證明採用夾逼法則。
3）運算元2範數（譜範數）
矩陣最大特徵值的絕對值是矩陣a的譜半徑。運算元
2範數是
r(a^h*a)
的開根號。
a的正奇異值是
(a^h*a)
的特徵值的模。
性質：1. 矩陣a的
h、t、共軛的運算元
2範數都相同（因為
a*a^h
和a^h*a
特徵值相同）
2. 運算元
2範數與譜半徑的關係
3. 運算元
2範數的酉不變性。
4. 運算元
2範數的約束極值問題、和其它
2範數的關係，如下圖。
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