資料結構之堆排序

在資料結構中,堆排序是非常重要的乙個知識點,尤其像在期末考試、考研等計算機考試中經常會考察堆排序,並要求畫出示意圖.下面主要通過一道考研題目講述堆排序的知識,希望對大家有所幫助.

(文章內容參考嚴蔚敏的《資料結構》、王道論壇的《資料結構》和自己的一些理解)

參看動態圖：

堆排序是一種樹形選擇排序方法,它的特點是在排序過程中,將l[1...n]看成一顆完全二叉樹的順序儲存結果,利用完全二叉樹中雙親結點和孩子結點之間的內在關係,在當前無序區中選擇關鍵字最大或最小的元素.該演算法時間複雜度o(nlong2n),是不穩定排序.

堆的定義:n個元素的序列k[1..n]當且僅當滿足:

(1).k[i]<=k[2i]且k[i]<=k[2i+1] 或 (2).k[i]>=k(2i)且k[i]>=k[2i+1] (i=1,2...|_n/2_|) 如下圖所示:

滿足(1)的堆稱為小根堆,滿足(2)的堆稱為大根堆.

在大根堆中,堆頂元素(完全二叉樹的根)必為序列中n個元素的最大值,且對其任一非根結點,它的值不大於其雙親結點值.對應的是最大堆.同理,小根堆定義相反,根節點為最小值.如下圖分別是最大堆和最小堆.堆採用的儲存方式是順序儲存結構.

堆排序利用堆的特性進行排序,其基本思想是:首先將待排序的記錄序列構造成乙個堆;然後選出對中所有記錄的最小值(最小堆);再把它從堆中輸出,並把剩餘的元素排成最小堆,依次找次小的記錄並輸出,直到只有乙個記錄為止.問題的步驟為:

(1).如何從乙個無序序列初始建堆,這是堆排序的關鍵.(初始建堆)

(2).如何處理堆頂記錄.(處理堆頂)

(3).輸出堆頂元素後如何調整剩餘元素,構建乙個新堆.(重新建堆)

例:(改考研題)使用堆排序對序列進行排序,要求畫出最小堆,並畫出堆排序的示意圖.

首先按照題目順序構造乙個完全二叉樹如下圖所示,然後按照下面的"初始建堆"和"堆排序"實現.

對初始序列建堆,就是有乙個反覆篩選的過程.n個結點的完全二叉樹,最後乙個結點是第|_n/2_|(其中|_x_|表示不大於x的最大整數)個結點的孩子.小根堆其基本思想從|_n/2_|根節點開始,盡量讓最小數向二叉樹根結點(堆頂)移動,使子樹都成為堆.

(1).對第|_n/2_|個結點為根的子樹篩選,對於小根堆：如果根結點的關鍵字大於左右子女結點中關鍵字較小者,則交換,使子樹成為堆.

題中：i=|_8/2_|=4,指向97根結點,大於其左孩子結點50,故交換順序.如下圖.

(2).然後向前依次對各結點(|_n/2_|-1到1)為根的子樹進行篩選,看該結點值是否小於其左右子結點,如果不是,將左右子結點中較小者與之交換;交換後可能會破壞下一級的堆,繼續採用上述方法構造下一級的堆,直到該結點為根的子樹構成堆位置.

(3).反覆使用上述方法建堆,直到根節點.題中根節點交換時亦要檢查器下級堆是否要交換順序.

在使用完全二叉樹初始建立好如上圖的最小堆後,就是對該堆進行排序輸出.此時的演算法是:

(1).輸出堆頂元素,題中堆頂元素=13;輸出後以堆中最後乙個元素=97替代堆頂元素;然後將根節點值與左右子樹的根節點進行比較,並與其中小者進行交換;

(2).重複上述操作,直到葉子節點,將得到的新堆稱為這個從堆頂至葉子的調整過程為"篩選".

輸出堆頂27,將最後乙個元素65替代堆頂元素,再從49和38中選擇較小值38,將65與38元素交換.(答題是只畫最後交換好的再配上必要文字說明即可)

輸出堆頂38,將最後乙個元素76替代堆頂元素,再根據方法依次交換76與49,76與50.

輸出堆頂49,將最後乙個元素97替代堆頂元素,再根據方法依次交換97與50,97與76.

同理一次輸出如下:

該文章主要是解決上面的那個堆排序問題,而相應的演算法**和插入刪除亦類似沒給出.寫這篇文章主要是紀念自己這幾個月考研的日子,同時無論考研結果如何,都要在考完後學習更多自己感興趣的程式設計知識,並完成一些自己感興趣的工程和部落格.這才是我想要的東西.最後希望該文章對大家有所幫助,尤其是考研的學子.希望大家考研順利,同時如果文章中有錯誤或不足之處,希望大家海涵!

(by:eastmount 2013-12-17 下午4點)

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