（12）取樣問題

一、簡介

問題描述：程式的輸入包含兩個整數m和n，其中m（1）一般情況下，如果要從r個剩餘的整數中選出s個，我們以s/r的概率來選擇下乙個數。如下偽**所示：

select = m  
remaining = n  
for i = [0, n)  
if (bigrand() % remaining) < select  
print i  
select—  
remaining--

下面給出乙個c++的實現：

void getknuth(int m, int n)
}cout << endl;
}

（3）另乙個解決方法是在乙個初始為空的集合裡插入隨機整數，直到個數足夠。偽**如下：

initialize set s to empty  
size = 0  
while size < m do  
t = bigrand() % n  
if t is not in s  
insert t into s  
size++  
print the elements of s in sorted order

利用c++的標準模板庫實現如下所示：

void gensets(int m, int n)
for (i = s.begin(); i != s.end(); ++i)
cout << endl;
}

（3）生成隨機整數的有序子集的另一種方法時把包含整數0~n-1的陣列順序打亂，然後把前m個元素排序輸出即可。

for i = [0, n)  
swap(i, randint(i, n-1) )   // randint(i, j)從i...j範圍內均勻選擇的隨機整數的函式

其實在這個問題中，我們只需要打亂陣列的前m個元素，對應的c++**如下所示：

void genshuf(int m, int n)
for (i = 0; i < m; i++) 
//排序陣列中的前m個元素
sort(x, x+m);
for (i = 0; i < m; i++)
cout << endl;
}

二、原理

（1）正確理解所遇到的問題，即將問題抽象成能用數學或邏輯表示的命題；

（2）提煉出抽象問題，有助於我們把解決方案應用到其他問題中；

（3）考慮盡可能多的解法，多思考，然後會發覺寫**的時間會很短；

（4）實現一種解決方案。

三、習題

1、c庫函式rand()通常返回約15個隨機位，使用該函式實現函式bigrand()和randint(l,u)，前者返回至少30個隨機位，後者返回[l,u]範圍內的乙個隨機整數，解答如下：

int bigrand() 
int region(int l, int u)  //[l, u]

2、當m接近於n時，就集合的演算法生成的很多隨機數都要丟棄，因為他們之前已經存在於集合中了。能否給出乙個演算法，使得即使在隨壞情況下也能使用m個隨機數？

#include #include using namespace std;
void getset(int m,int n)//在0 -- n-1 中挑選m個 隨機數  
int main()

3、如何從n個物件中隨機選擇乙個？具體說來，如何在實現不知道文字檔案行數的情況下讀取該檔案，從中隨機選擇並輸出一行？

我們總是選擇第一行，並用二分之一的概率選擇第二行，使用三分之一的概率選擇第三行，以此類推。在該過程結束的時候，每一行具有相同的選中概率（1/n，其中n是檔案的總行數）：

i = 0 while more input lines with probability 1.0/++i choice = this input line //如果前面做了選擇，並不會break，而是直到最後乙個為止。

print choice

這裡比較有些疑惑的是第一行：總是選第一行為什麼概率還是1/n？

概率=1*(1/2)*(2/3)*(3/4)……(n-1/n) =1/n。

證明：當做第i步選擇（選擇第i行）時，選擇該行的概率為1/i，則不選擇的概率為(i-1)/i，對於一篇有n行的文件，現需證明最終選定第i行的概率為1/n。

當最終選擇第i行，前（i-1）步的選擇對最終結果不會產生影響，第i步選擇的概率為1/i，即選擇第i行，第（i+1～n）步中均採取不選擇的動作，即對於任意j(i+1<=j<=n)，當前步的概率為(j-1)/j，那麼最終的概率為：(1/i)*((i)/(i+1))*...*((n-1)/n) = 1/n。

以一篇只有6行的文件為例，最終選擇第2行的概率為：1/2*(2/3)*(3/4)*(4/5)*(5/6) = 1/6。

擴充套件：原問題可簡化為：如何從n個有序物件中等概率地任意抽取1個，簡記為sample（n,1），其中n未知；

若將該問題改為：如何從n個有序物件中等概率地任意抽取m個，簡記為sample（n,m），其中n未知；

分析：若n已知，sample(n,m)是普通的抽樣問題；當n未知時，可否根據上述演算法進行相應的轉化求解？

解決方案：將sample(n,m)問題轉化為m個sample(n,1)問題，更具體一點是，轉化為sample(n,1);sample(n-1,1);sample(n-2,1)....;sample(n-m+1,1)問題。

仍然以一篇6行文件為例，任取其中2行，做法如下：

第一遍，以如下概率選中一行：1(1) 2(1/2) 3(1/3) 4(1/4) 5(1/5) 6(1/6)，假設選中第2行，接著概率修改如下：3(1) 4(1/2) 5(1/3) 6(1/4) 1(1/5)。

說明：當選中第2行，從第3行開始修改概率，並將第2行排除在外，繼續掃瞄，這樣能保證在剩下的5個數中仍然以等概率抽取其中的乙個。

（12）取樣問題

程式設計珠璣筆記第12章取樣問題

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