有乙個桶，裡面有白球、黑球各100個，人們必須按照以下規則把球取出來：
每次從桶裡面拿兩個球
如果是兩個同色的球，就再放入乙個黑球;
如果是兩個異色的球，就再放入乙個白球。
問題是：最後桶裡面只剩下乙個黑球的概率是多少?
針對這樣乙個問題，我們有兩種不一樣的解法：
方法一：
首先，我們可以通過相應的數學式來建立與上述三個條件等同的表達方式。在這裡，我們可以使用集合的概念來表示，如（黑球數，白球數），初始狀態為（100，100）。在這裡，我們首先從簡單的情況入手分析，假設初如狀態黑球、白球均含有兩個的情況下，也即（2，2）時，我們根據上述三條規則，利用集合表示式來表達三條規則：
當從中取出兩個相同的白球時，可表示為（0，-2），負號表示取走、減少的含義，則應該再新增乙個黑球，即（1，0），則最終桶中球的變化為：（0，-2）+（1，0）=（1，-2）;
當從中取出兩個相同的黑球時，可表示為（-2，0），負號表示取走、減少的含義，則應該再新增乙個黑球，即（1，0），則最終桶中球的變化為：（-2，0）+（1，0）=（-1，0）;
當從中取出黑、白兩球各乙個時，可表示為（-1，-1）， 負號表示取走、減少的含義，則應該再新增乙個白球，即（0，1），則最終桶中球的變化為：（-1，-1）+（0，1）=(-1，0）;
從上面三種可能的取球結果，我們很容易總結出下面兩條規律：
現在，我們從上述兩條規律可以得出結論呢。因為初始狀態時，黑、白球個數均為偶數，即100個，根據規律二，最終不可能會出現只有乙個白球的情況，而每次球的總數卻在每次取球的過程中穩定減少乙個，故最終只剩下乙個黑球的概率為百分之百。
方法二：
從問題的三個規則，我們可以聯想到使用離散數學中的異或算術表示式，即xor。因為當取出兩個同色的球，就再放入乙個黑球，當取出兩個異色球時，則再放入乙個白球。與異或算術表示式的運算規則完全一樣，在這裡，我們只需要合理地將黑球將為0，白球設為1，即可。因為根據異或算術表示式，有下面的結果：
(0xor0)=0
(1xor1)=0
(0xor1)=1
再者，因為異或運算符合結合律，因此無論是何種取法，最終的結果都是唯一的。也就是說遊戲的結果與過程無關，只與初始狀態黑、白球的個數有關。因為初始狀態，黑、白球個數均為偶數100個，因此根據異或表示式，我們很容易得出將這所有的100個黑球（0）和100個白球（1）進行異或運算的結果答案只能是黑球（0）。
使用這種方法，我們也可以得出，不管初始狀態，黑、白球的個數如何，最終的結果都是兩者異或值。分為三種結果：
當黑、白兩球的個數均為偶數時，異或的結果必然是只剩黑球（0）。
當黑、白兩球的個數均為奇數時，異或的結果必然是只剩白球（1）。
當黑、白兩球的個數乙個為奇數乙個為偶數時，異或的結果這地方結果取決於白球的個數的，白球的個數如果是偶數，則結果就是乙個黑球，白球的個數如果是奇數，則結果就是乙個白球。
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