程式設計之美之買書問題

關於程式設計之美中買書的問題，我困擾了好久。當然，我的數學能力不強，領悟能力又差，所以才困擾了這麼久。不過，在本人的堅持下，終於理解透徹。為了記住這一時刻，更為了免除以後忘記的可能，暫時記錄如下。

書中關於證明f(y1-1,y2-1,y3-1,y4-1,y5)和f(y1-1,y2-1,y3-1,y4,y5-1)的等價性，作者舉了乙個例子，y1=y2=y3=y4=y5=2。但我認為，這個例子太過特殊，因為每卷本的數量都是相同的，顯然只要調整後兩項的順序，(y1-1,y2-1,y3-1,y4-1,y5)和(y1-1,y2-1,y3-1,y4,y5-1)的序列便是完全一樣的，這個是很好理解的，根本不需要再進行多餘的解釋。但是如果y4和y5不相等的話，就需要多解釋一下了。我想，作者真是企**釋這種情況，但是卻用了乙個特殊的不用多做解釋的例子。其次，我想，除了完全歸納法之外，通過舉具體例子的方式去證明乙個抽象的問題是不足的。那麼應該如何證明呢？

其實，我也不知道怎麼證明才好，只能根據自己的理解做一下邏輯推理，當然這個推理基於書中的推理但又做了延伸。讓我們來看(y1-1,y2-1,y3-1,y4,y5-1)這個序列，由於y4>=y5，所以y4>y5-1，那麼在最後的最優解中，一定會出現只有y4卷而沒有y5卷的一組（至少一組，可能多組，根據y4和y5的相對大小和最優解的分配情況）。那麼把這個只有y4卷而沒有y5卷的一組（只是一組，而不是多組，我想這一點書中作者沒有說明清楚）中的y4卷換成y5卷後，得到的仍是同樣的解，但是由於整體上看，y4卷少了一本,y5卷多了一本，這正是(y1-1,y2-1,y3-1,y4-1,y5)的序列。這時，可以回歸書中的一句話(y1-1,y2-1,y3-1,y4,y5-1)的最優解必是(y1-1,y2-1,y3-1,y4-1,y5)的乙個解，因此只要求出(y1-1,y2-1,y3-1,y4-1,y5)的最優解就好。

好了，對書中的這個內容作了補充解釋之後，再來個宣告：以上的推理也好，解釋也好，都是以書中的解釋為基礎，加以引申的，也許不應該叫半原創吧。

#!/usr/bin/env python
import random
def getminprice(books):
books.sort()
books.reverse()
if books[0] <= 0:
return 0,
prices = 
paths = 
if books[4] >= 1:
price,path = getminprice([books[0]-1,books[1]-1,books[2]-1,books[3]-1,books[4]-1])
if books[3] >= 1:
price,path = getminprice([books[0]-1,books[1]-1,books[2]-1,books[3]-1,books[4]])
if books[2] >= 1:
price,path = getminprice([books[0]-1,books[1]-1,books[2]-1,books[3],books[4]])
if books[1] >= 1:
price,path = getminprice([books[0]-1,books[1]-1,books[2],books[3],books[4]])
if books[0] >= 1:
price,path = getminprice([books[0]-1,books[1],books[2],books[3],books[4]])
minprice = min(prices)
i = prices.index(minprice)
minpath = paths[i]
minpath.insert(0,len(prices)-i)
return minprice,minpath
def getminbookprice(books):
assert(type(books) == list)
assert(len(books) == 5)
for i in books:
assert(type(i) == int)
return getminprice(books)
def getminbookprice2(books):
assert(type(books) == list)
assert(len(books) == 5)
for i in books:
assert(type(i) == int)    
path = 
count5 = 0
count3 = 0
while books[0] > 0:
books.sort()
books.reverse()
if books[4] >= 1:
books = [books[0]-1,books[1]-1,books[2]-1,books[3]-1,books[4]-1]
count5 += 1
elif books[3] >= 1:
books = [books[0]-1,books[1]-1,books[2]-1,books[3]-1,books[4]]
elif books[2] >= 1:
books = [books[0]-1,books[1]-1,books[2]-1,books[3],books[4]]
count3 += 1
elif books[1] >= 1:
books = [books[0]-1,books[1]-1,books[2],books[3],books[4]]
else:
books = [books[0]-1,books[1],books[2],books[3],books[4]]
if count5 > 0 and count3 > 0:
path.remove(5)
path.remove(3)
count5 -= 1
count3 -= 1
path.sort()
path.reverse()
price = 0
for i in path:
if i == 5:
price += 5*8*(1-0.25)
elif i ==4:
price += 4*8*(1-0.2)
elif i == 3:
price += 3*8*(1-0.1)
elif i == 2:
price += 2*8*(1-0.05)
else:
price += 8
return price,path
if __name__ == '__main__':
books = [random.randint(1,7) for i in range(5)] 
print getminbookprice(books)
print getminbookprice2(books)

getminbookprice是歸併法，getminbookprice2是貪婪法的修正實現，我發現測試了幾次兩個方法的結果是一致的。不過還是那句話，舉例不足以證明貪婪法的修正實現的正確性。

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