01揹包問題總結

一 問題描述：

有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。

所謂01揹包，表示每乙個物品只有乙個，要麼裝入，要麼不裝入。

二 解決方案：

考慮使用dp問題 求解，定義乙個遞迴式 opt[i][v] 表示前i個物品，在揹包容量大小為v的情況下，最大的裝載量。

opt[i][v] = max(opt[i-1][v] , opt[i-1][v-c[i]] + w[i])

解釋如下：

opt[i-1][v] 表示第i件物品不裝入揹包中，而opt[i-1][v-c[i]] + w[i] 表示第i件物品裝入揹包中。

花費如下：

時間複雜度為o(v * t) ，空間複雜度為o(v * t) 。 時間複雜度已經無法優化，但是空間複雜度則可以進行優化。

但必須將v 遞減的方式進行遍歷，即v.......0 的方式進行。

三 初始化：

（1）若要求揹包必須放滿，則初始如下：

f[0] = 0 , f[1...v]表示-inf。表示當容積為0時，只接受乙個容積為0的物品入包。

（2）若要求揹包可以空下，則初始化如下：

f[0...v] = 0 ，表示任意容積的揹包都有乙個有效解即為0。

具體解釋如下：

初始化的

f陣列事實上就是在沒有任何物品可以放入揹包時的合法狀態。

如果要求揹包恰好裝滿，那麼此時只有容量為

0的揹包可能被價值為0的

nothing「

恰好裝滿」，

其它容量的揹包均沒有合法的解，屬於未定義的狀態，它們的值就都應該是

-∞了。

如果揹包並非必須被裝滿，那麼任何容量的揹包都有乙個合法解

「什麼都不裝」，

這個解的價值為

0，所以初始時狀態的值也就全部為0了。

四 **如下：

/*01揹包，使用了優化後的儲存空間

建立陣列

f[i][v] = max(f[i-1][v] , f[i-1][v-c[i]] + w[i])

將前i件物品，放入容量為v的揹包中的最大值。

下面介紹乙個優化，使用一維陣列，來表示

(1) f[v]表示每一種型別的物品，在容量為v的情況下，最大值。

但是體積迴圈的時候，需要從v----1迴圈遞減。

初始化問題：

(1)若要求揹包中不允許有剩餘空間，則可以將f[0]均初始化為0，其餘的f[1..n]均初始化為-inf 。

表示只有當容積為0 的時候，允許放入質量為0的物品。

而當容積不為0的情況下，不允許放入質量為0的物品，並且把狀態置為未知狀態。

(2)若要求揹包中允許有剩餘空間 ，則可以將f[1n]，均初始化為0。

這樣，當放不下去的時候，可以空著。

*/#include using namespace std ;

const int v = 1000 ; //總的體積

const int t = 5 ; //物品的種類

int f[v+1] ;

//#define empty //可以不裝滿

int w[t] = ; //價值

int c[t] = ; //每乙個的體積

const int inf = -66536 ;

int package()

}return f[v] ; }

int main()

{

int temp = package() ;

cout<

揹包問題 01揹包總結

寫這篇部落格的原因是因為自己初學揹包的時候覺得好玄學。只是知道怎麼寫，但是具體是為什麼覺得很玄妙。在此其實希望和我一樣的小白萌新早點明白其中的原理，其實原理很簡單，只要懂了這個圖，我想01揹包就不成問題了。首先要明確這張表是至底向上，從左到右生成的。關於01揹包的題目暫時整理了一點。1.簡單01揹包...

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