2013程式設計之美全國挑戰賽相似字串

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對於兩個長度相等的字串，我們定義其距離為對應位置不同的字元數量，同時我們認為距離越近的字串越相似。例如，「0123」和「0000」的距離為 3，「0123」和「0213」的距離則為 2，所以與「0000」相比，「0213」和「0123」最相似。

現在給定兩個字串 s1 和 s2，其中 s2 的長度不大於 s1。請在 s1 中尋找乙個與 s2 長度相同的子串，使得距離最小。

input

輸入包括多組資料。第一行是整數 t，表示有多少組測試資料。每組測試資料恰好佔兩行，第一行為字串 s1，第二行為 s2。所有字串都只包括「0」到「9」的字元。

1 ≤ t ≤ 100

小資料：字串長度不超過 1000

大資料：字串長度不超過 50000

output

對於每組測試資料，單獨輸出一行「case #c: d」。其中，c 表示測試資料的編號（從 1 開始），d 表示找到的子串的最小距離。

sample input

0123456789

321010203040506070809

40420121221

211

sample output

case #1: 2

case #2: 1

case #3: 1

解題思路：

這道題要求在s1中尋找與s2對應位置相同字元最多的子串。

對於小資料，通過列舉子串起點，再按照定義計算距離就可以通過。對於大資料，我們需要更高效的演算法。

不過看了官方給出的解題報告，用fft看不懂t_t。

如下：

如果可以「批量」地計算出s1中所有長度為|s2|的子串與s2的相同字元數量，那麼剩下的問題就僅僅是在這些數量值中尋找最大值了。對於s2和s1中的任意乙個長度為|s2|的子串，顯然這兩個字串相同字元的數量是'0', '1', ..., '9'各自相同字元數的總和，所以我們首先只考慮關於單個字元c的相同字元數量。於是可以把s1和s2看作成兩個01序列：字元c對應於1，其他字元對應於0。具體地說，記s1和s2的長度分別為n1和n2，構造兩個序列：

x[n] = x[n modn1] = (s1[n mod n1] == c) ? 1 : 0

y[n] = (s2[n2 -n - 1] == c) ? 1 : 0

其中x是迴圈序列，y對s2頭尾調轉。聰明的你一定發現了，這兩個序列卷積的第n項(x * y)[n]就是s1[n + 1 ... n + n2]與s2相同的c字元的數量，而卷積可以利用fft在o(nlogn)時間內計算(

於是我們可以得到這樣乙個o(nlogn)的演算法：對於每個字元c，構造序列x和y，使用fft計算卷積，最後把結果相加，找最大值即可。需要注意的是，fft中涉及的大量sin和cos的計算結果需要提前預處理，否則很容易超時。

因為計算一次卷積需要執行3次fft，所以上面的演算法總共需要執行30次fft，常數很大。別忘了fft可以計算複數域的卷積，利用這個特點可以一次處理兩種字元c1和c2，只需稍稍修改下x和y的定義。在x中，c1對應於1，c2對應於i，其他字元對應於0；在y中恰好相反，c1對應於i，c2對應於1，其他字元對應於0。若記卷積第n項(x * y)[n]為a + bi，那麼b就是c1和c2的相同字元總數。經過這樣的修改，計算量減少一半。

借鑑乙個排名第二（chaozicen）的大牛的方法：不過感覺這道題最壞情況也是平方演算法，因為有巢狀的for迴圈，官方給出的能優化到nlogn.

#include #include #include #include #include using namespace std;

vectore[10];

int ans[60000];

int main()

} int dis=0;

for(int i=0;idis)dis=ans[i];

} dis=len2-dis;

cout<<"case #"<

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