這個實數的問題，一直讓我覺得搞不太明白，數學的一切都是從自然數開始衍生，數學這個巨集偉的大廈的基石就是自然數，當然自然數是誰創造的，誰都不知道。
數學就是通過一步步假設、推理和反思的最終結果。實數集是沒有辦法進行測量的集合，因為現實生活中的儀表表示的數字總是乙個有理數。因此，實數集是乙個抽象的概念，必須依賴於幾個基本的性質進行數學分析。
數學是一門思維遊戲，就像所有標榜自己是科學的東西們一樣。所以我們用真正正常和不學究氣的方式來討論下。
實數的理論或叫做實數的連續統理論是微積分依賴的基本假設。但是真正建立起這門學科的人們，把精力都集中到了用這一新方法解決過去認為不可解答的問題上了，因而它的基礎理論部分不夠嚴謹。實際上是數學分析發展到相當程度後，由柯西和戴德金等人完善的。這部分知識在你剛開始接觸的時候不要陷入太細緻的部分去，而應當領會精神就可以了。我當年入學的時候，遺憾的沒有認清這個事實，又不肯自己看書。所以浪費了很多時間在這上面，做很多很多討論，雖然說有收穫的，但是得不償失。
由於所有的討論都要建立在實數上，所以實數的基本性質變的非常重要。而實數的這個「隱藏」的性質到底是什麼呢？一句話，實數是連續的。下面我們詳細的進行說明。
實數這個系統，我們從三個角度來分析它。
1. 順序性
o1.任何兩個實數必定且只能滿足下面三種關係：ab
o2.實數的順序存在傳遞性：aa
o3.對於加運算保持順序：aa+c
o4.對於正的乘運算保持順序：a0 => ac
*說明：也許你會覺得這些全部都太弱智了。但是仔細想想，這些性質並非是一定存在的，所以我們有單獨列出的必要。比如偏序集不具備o1和o2這樣的條件。甚至有的集合失去了順序性，比如複數系。
2. 運算性質
f1-f8 加上分配律，你可以認為實數具備9個基本的算術性質。比如加法存在逆運算，結合律等等。這裡不提他們，是因為你已經全部把他們作為自然的東西接受了。這樣並沒什麼不好。但是，其實這9條性質是在定義實數系統的代數結構。
3. 連續性
這就是困擾我。或者說，微積分這個大廈開開始階段不太穩固的原因。當時這個性質沒有被充分的認識清楚。只有一條
c1 實數是連續的系統
我們要對這點展開。
實數系有7個基本定理，事實上包括區間套定律，有限覆蓋，存在確界定理等在內的7個定理是可以相互推出的，並且它們不可能從別的地方再被推出，所以稱做實數的基本假設可能更確切點。或者乾脆認為，我們要求實數必須具備這樣的性質才行。因為只有實數是連續的，即實數之間沒有間隔，這樣在衡量乙個量的大小時候，實數才是可以滿足要求的。雖然有理數也很稠密，但是它在衡量乙個量的大小的時候是不夠用的。比如直邊都是1的三角形的斜邊不可能用有理數表達出來。
或者我應該在這裡做出無限小數的假設，這樣可以看起來，我好象推出了實數的連續性。但是這是不行的。因為即使按照其他書的模式做出了無限小數的假設，可是這也只是假設而已。認為實數對應於乙個無限的小數除了我們的直覺外，是沒有太多的根據的。所以我在這裡寧願不提這些。（雖然，這樣做確實更有幫助於理解。）
你只需要記得，實數是連續的。在衡量乙個量的大小時候，它很完備。就把連續性作為乙個實數具備的性質接受下來吧。
*注：關於上面所講東西的疑問，比如確界存在定理如何用小數理論「證明」，或者更進一步的，實數的不可數性。事實上，這部分最好的說明仍然是戴德金當年的小冊子。
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