分類： 演算法導論
2012-08-28 11:00
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舉報題目：
josephus問題的定義如下：假設n個人排成環形，且有以正整數m<=n。從某個制定的人開始，沿環報數，每遇到第m個人就讓其出列，且報數進行下去。這個過程一直進行到所有人都出列為止。每個人出列的次序定義了整數1，2，...，n的(n, m)-josephus排列。例如，(7,3)-josephus排列為<3,6,2,7,5,1,4>。
a)假設m為整數。請描述乙個o(n)時間的演算法，使之對給定的整數n，輸出(n, m)-josephus排列。
b)假設m不是個常數。請描述乙個o(nlgn)時間的演算法，使給定的整數n和m，輸出(n, m)-josephus排列。
思考：
利用14.1中的動態順序統計，假設剛剛刪除的是剩餘點中的第start個點（初始時為0），此時還剩下t個點，那麼下乙個要刪除的是剩餘點的第（start+m-1）%t個點
步驟1：基礎資料結構
紅黑樹步驟2：附加資訊
size[x]：以x為根的子樹的（內部）結點數（包括x本身），即子樹的大小。size[nil[t]]=0
步驟3：對資訊的維護
size[x] = size[left[x]] + size[right[x]] + 1
插入操作：從插入結點到根結點都要更新o(lgn)
旋轉操作：只需要更新旋轉軸上的兩個點o(1)
刪除操作：從刪除結點的父結點開始到根結點都要更新o(lgn)
**：
[cpp]view plain
copy
#include
using
namespace
std;
#define black 0
#define red 1
//紅黑樹結點結構
struct
node
};
//順序統計量樹結構
struct
os_tree
; };
//對附加資訊的維護
void
maintaining(node *x)
} //左旋，令y = x->right, 左旋是以x和y之間的鏈為支軸進行旋轉
//涉及到的結點包括：x,y,y->left，令node=,具體變化如下：
//x=變為
//y=變為
//y->left=變為
void
left_rotate(os_tree *t, node *x)
//右旋，令y = x->left, 左旋是以x和y之間的鏈為支軸進行旋轉
//旋轉過程與上文類似
void
right_rotate(os_tree *t, node *x)
//紅黑樹調整
void
os_tree_insert_fixup(os_tree *t, node *z)
else
//第三種情況：z的叔叔是黑色的，且z是左孩子
//交換parent[z]和parent[parent[z]]的顏色，並右旋
z->parent->color = black;
z->parent->parent->color = red;
right_rotate(t, z->parent->parent);
} }
//parent[z]是右孩子時，有三種情況，與上面類似
else
if(z->parent == z->parent->parent->right)
else
z->parent->color = black;
z->parent->parent->color = red;
left_rotate(t, z->parent->parent);
} }
} //根結點置為黑色
t->root->color = black;
} //插入乙個結點
void
os_tree_insert(os_tree *t, node *z)
z->parent = y;
if(y == t->nil)
t->root = z;
else
if(z->key < y->key)
y->left = z;
else
y->right = z;
z->left = t->nil;
z->right = t->nil;
//將新插入的結點轉為紅色
z->color = red;
//從新插入的結點開始，向上調整
os_tree_insert_fixup(t, z);
maintaining(z);
} //對樹進行調整，x指向乙個紅黑結點，調整的過程是將額外的黑色沿樹上移
void
os_tree_delete_fixup(os_tree *t, node *x)
//第二情況：w為黑色，w的兩個孩子也都是黑色
if(w->left->color == black && w->right->color == black)
//第三種情況，w是黑色的,w->left是紅色的,w->right是黑色的
else
//第四種情況：w是黑色的,w->left是黑色的,w->right是紅色的
//修改w和parent[x]的顏色
w->color =x->parent->color;
x->parent->color = black;
w->right->color = black;
//對parent[x]進行一次左旋
left_rotate(t, x->parent);
//此時調整已經結束，將x置為根結點是為了結束迴圈
x = t->root;
} }
//若x是其父的左結點（右結點的情況相對應）
else
if(x == x->parent->right)
//第二情況：w為黑色，w的兩個孩子也都是黑色
if(w->right->color == black && w->left->color == black)
//第三種情況，w是黑色的,w->right是紅色的,w->left是黑色的
else
//第四種情況：w是黑色的,w->right是黑色的,w->left是紅色的
//修改w和parent[x]的顏色
w->color =x->parent->color;
x->parent->color = black;
w->left->color = black;
//對parent[x]進行一次左旋
right_rotate(t, x->parent);
//此時調整已經結束，將x置為根結點是為了結束迴圈
x = t->root;
} }
} //吸收了額外的黑色
x->color = black;
} //找最小值
node *os_tree_minimum(os_tree *t, node *x)
//查詢中序遍歷下x結點的後繼，後繼是大於key[x]的最小的結點
node *os_tree_successor(os_tree *t, node *x)
return
y;
}
//遞迴地查詢二叉查詢樹
node *os_tree_search(node *x, int
k)
//紅黑樹的刪除
node *os_tree_delete(os_tree *t, node *z)
//如果被刪除的結點是黑色的，則需要調整
if(y->color == black)
os_tree_delete_fixup(t, x);
return
y;
} //查詢以x為根結點的樹中第i大的結點
node *os_tree_select(node *x, int
i)
intmain()
intt = n, start = 0;
//還有剩餘結點
while
(t)
cout<}
return
0;
}
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