fibnacci數列遞迴演算法及改進

fibnacci數列1，1，2，3，5，8，13，21...,數列第一項和第二項等於1，從第三項開始開始，每一項都等於前兩項之和，簡單的用數學公式表示：

n=0或n=1時，f(n)=1;

n>1時,f(n) = f(n-1) + f(n-2)

可以看出使用遞迴演算法可解決該問題，python**如下：

def fibnacci_i(x):
if x < 0:
return 0
if x == 0 or x == 1:
return 1
return fibnacci_i(x-1) + fibnacci_i(x-2)

執行fibnacci_i(20)，結果為10946。似乎一切正常。但是當x的值很大時，程式會出現執行錯誤：runtimeerror: maximum recursion depth exceeded，最大遞迴深度溢位，這是因為python中遞迴深度大於等於1000時就會報錯。即使python不做限制，當x很大時，程式需要耗費很長的時間才能計算完成，這裡就涉及到linux堆疊的問題。因為linux系統為計算機分配的堆疊大小有限制（使用ulimit -a可檢視堆疊大小），而程式執行時會將程式放入堆疊，每呼叫一次遞迴就會分配一次堆疊，乙個堆疊的大小為8k，我的虛擬機器的堆疊大小為8092k，可以看出很快就會把堆疊用盡，所以時間複雜度就很大。該演算法的時間複雜度為o(2^n)。

仔細看fibnacci數列，可以發現有很多重複運算，比如f(5) = f(4) + f(3);f(4) = f(3) + f(2);這裡對f(3)做了重複計算，那麼可以對演算法做改進，將重複的計算結果快取起來，用空間來換取時間。改進後的程式**如下：

cache = 
def fibnacci_ii(x):
global cache
if x < 0:
return 0
if x == 0 or x == 1:
return 1
if x in cache:
return cache[x]
result = fibnacci_ii(x-1) + fibnacci_ii(x-2)
if x not in cache:
cache[x] = result
return result

實際執行一下可以看出改進後的程式比原有程式效率高很多。因為對中間結果做了儲存，所以實際上是用空間來換取時間。

似乎已經很好了，還有更好的解法嗎？答案是肯定的，使用迴圈可將演算法改進為非遞迴演算法，因為f(x) = f(x-1) + f(x-2)，那麼我們可以在計算f(x-1)和f(x-2)時將結果儲存下來，那麼計算f(x)的時候就可以直接得到結果了，依次類推，可以用乙個for迴圈解決。該演算法的**如下：

def fibnacci_iii(x):
if x < 0:
return 1
if x == 0 or x == 1:
return 1
result = 0
a = 1
b = 1
for i in xrange(x):
if i > 1:
result = a + b
a = b
b = result
return a + b

總結，遞迴演算法的特點是清晰明了，但是遞迴演算法的時間複雜度很大，意味著計算時間會很長，而改為非遞迴演算法後，可以很好的減少時間複雜度。寫程式時應該盡量避免遞迴，將遞迴演算法改為非遞迴演算法。

fibnacci數列遞迴演算法及改進

fibnacci數列遞迴實現

fibnacci數列遞迴實現

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fibnacci數列遞迴演算法及改進

fibnacci數列遞迴實現

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