三角剖分詳解

三角剖分定義

定義:三角剖分：假設v是二維實數域上的有限點集，邊e是由點集中的點作為端點構成的封閉線段, e為e的集合。那麼該點集v的乙個三角剖分t=(v,e)是乙個平面圖g，該平面圖滿足條件：

1.除了端點，平面圖中的邊不包含點集中的任何點。

2.沒有相交邊。　

3.平面圖中所有的面都是三角面，且所有三角面的合集是散點集v的凸包。

delaunay邊：

存在一條邊e屬於e,且經過該邊的兩個端點a,b有乙個圓，園內(注意是圓內，圓上最多三點共圓) 不含點集v中任何其它的點，這樣的邊稱為delaunay邊。

delaunay三角剖分：

如果點集v的乙個三角剖分t只包含delaunay邊，那麼該三角剖分稱為delaunay三角剖分。

delaunay三角剖分的準則：

1、空圓特性：delaunay三角網是唯一的（任意四點不能共圓），在delaunay三角形網中任一三角形的外接圓範圍內不會有其它點存在。

2、最大化最小角特性：在散點集可能形成的三角剖分中，delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。具體的說是指在兩個相鄰的三角形構成凸四邊形的對角線，在相互交換後，六個內角的最小角不再增大。

delaunay三角剖分的特性

1.最接近：以最近臨的三點形成三角形，且各線段(三角形的邊)皆不相交。　

2.唯一性：不論從區域何處開始構建，最終都將得到一致的結果。　　

3.最優性：任意兩個相鄰三角形形成的凸四邊形的對角線如果可以互換的話，那麼兩個三角形六個內角中最小的角度不會變大。

4.最規則：如果將三角網中的每個三角形的最小角進行公升序排列，則delaunay三角網的排列得到的數值最大。　

5.區域性：新增、刪除、移動某乙個頂點時只會影響臨近的三角形。　　

6.具有凸多邊形的外殼：三角網最外層的邊界形成乙個凸多邊形的外殼。

區域性最優化處理：

理論上為了構造delaunay三角網一般三角網經過lop(local optimization procedure)處理，即可確保成為delaunay三角網。

其基本做法如下：

1.將兩個具有共同邊的三角形合成乙個多邊形。

2.以最大空圓準則作檢查，看其第四個頂點是否在三角形的外接圓之內。

3.如果在，修正對角線即將對角線對調，即完成區域性優化過程的處理。

delaunay剖分的演算法

——lawson演算法

lawson演算法

原理：首先建立乙個大的三角形或多邊形，把所有資料點包圍起來，向其中插入一點，該點與包含它的三角形三個頂點相連，形成三個新的三角形，然後逐個對它們進行空外接圓檢測，同時用 lop進行優化，來保證所形成的三角網為delaunay三角網。

優點：理論嚴密、唯一性好，網格滿足空圓特性，較為理想。由其逐點插入的構網過程可知，遇到非delaunay邊時，通過刪除調整，可以構造形成新的delaunay邊。

缺點：在實際應用當中，這種構網演算法當點集較大時構網速度也較慢，如果點集範圍是非凸區域或者存在內環，則會產生非法三角形。

lawson演算法的基本步驟是：

1、構造乙個超級三角形，包含所有散點，放入三角形鍊錶。

2、將點集中的散點依次插入，在三角形鍊錶中找出其外接圓包含插入點的三角形（稱為該點的影響三角形），刪除影響三角形的公共邊，將插入點同影響三角形的全部頂點連線起來，從而完成乙個點在delaunay三角形鍊錶中的插入。

3、根據優化準則對區域性新形成的三角形進行優化。將形成的三角形放入delaunay三角形鍊錶。

4、迴圈執行上述第2步，直到所有散點插入完畢。