勾股數問題

一.問題描述

如果直角三角形三條邊長均為整數,這三個整數組成的陣列就稱為勾股陣列,對於勾股陣列(a,b,c),根據定理有關係式:a^2 + b^2=c^2

問題: 有一種勾股陣列(a,b,c),使得b=a+1.例如: 3^2+4^2=5^2;

用程式找出指定範圍(1二. 分析

1.遍歷求解:這類演算法最簡單,也最耗時.兩個遍歷條件得到結果的演算法複雜度是0(n^2),顯然這不是好演算法.

2.遞迴演算法:

設 a,b,c為一組勾股數, 設 m= c--a,有 a^2+(a+1)^2=(a+m)^2;

視m 為常數,解得: a= m--1+sqrt(2*m*(m-1))

因a是整數,故2*m*(m-1)是完全平方數,有整數n>=0,使得:

2*m*(m-1)=(m+n)^2;    1

解m得:

m ==n+1+sqrt((n+1)^2+n^2);

因為m是整數,故(n+1)^2+n^2是完全平方數.

當n=0時,代入得到a=3,b=4,c ==5.

當n<>0時,n,n+1,sqrt((n+1)^2+n^2)構成一組勾股數.

可見,除3,4,5外,所有其他勾股陣列均可逆向使用上述公式,由另一組比較小的勾股數推出.

由 1 得: m^2 =n^2 +2m+2mn

2m(m-1) = n^2+m^2+2mn=(m+n)^2.

所以:  a = m-1+n+m=n+2*m-1=n + 2*b(n) +2*c(n) --1;

總結遞推公式如下:

a(0)=3

b(0)=4

c(0)=5

a(n+1) = a(n) +2*b(n) +2*c(n) -1

b(n+1)=a(n+1) +1;

c(n+1)=a(n+1) +b(n) +c(n)

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