乙個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等於斜邊長的平方。 如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是a和b，斜邊長度是c，那麼可以用數學語言表達：
2+(
2y+1
)2=(
2z)2
展開化簡得到下式： 2
x2+2
x+2y
2+2y
+1=2
z2上式左邊為奇數，右邊為偶數，等式顯然不成立； 如果數a，b都是偶數，意味著c也是偶數。此時a,b,c都可以被2整除，此時a,b,c不互質。 證畢。 ———- 由a
2+b2
=c2 可得a2
=(c−
b)(c
+b)
假設存在乙個數d是(c-b),(c+b)的公因數，即d可以整除(c-b)和(c+b)，則d也可以整除
（c+b）+（c-b）= 2c 與 （c+b）-（c-b）= 2b
故d整除2b和2c.而b、c沒有公因數，因為我們假設（a,b,c）為本原勾股陣列，可以得出d一定是1或2。但d也整除(c
+b)(
c−b)
=a2 且a為奇數，所以d只能為1，所以(c-b),(c+b)沒有公因數。
現在我們知道c-b與c+b沒有公因數且a2
=(c−
b)(c
+b) ,所以c-b,c+b的積是平方數，當且僅當c-b和c+b本身都是平方數。記 c+
b=s2
, c
−b=t
2 其中
s>t⩾
1 為沒有公因數的奇數。關於b和c解方程組得 c
=s2+
t22 , b
=s2−
t22
於是 a=
(c+b
)(c−
b)−−
−−−−
−−−−
−√=s
t 所以有以下定理
pythagorean triples theorem：
we will get every primitive pythagorean triple(a,b,c) with a odd and b even by using the formulas:
st， b
=s2−
t22 ， c
=s2+
t22 ( s
>t⩾
1 )
通過這個公式，取不同s，t的值便可生成不同的勾股數。
下表為s⩽9
的所有勾股數st
a=st
b=s2−t
22c=
s2+t
2231
3455
15121371
724259
19404153
158177
321202975
3512379
545285397
631665
數論概論筆記 第2章 勾股陣列
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已知單位圓方程為 x 2 y 2 1。現欲求圓上所有座標為有理數的點。現有一條經過點 1,0 的直線，其方程為 y m x 1 m q 可得單位圓和直線的交點座標為 1,0 和 1 m 2 1 m 2 2m 1 m 2 因為m q，所以所得的第二點的座標為有理數。另一方面，如得到乙個有理數借 x1,...
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