畢達哥拉斯定理（勾股定理）：a^2 + b^2 = c^2; 有a,b,c∈n
本原勾股陣列（ppt）是乙個三元組（a,b,c），其中a, b, c沒有公因數，且滿足
a^2 + b^2 = c^2
可證明a,b的奇偶性不同且c為奇數。證明如下：
如a, b為偶數，則c必為偶數，a, b, c不互質，不構成勾股陣列；
如a, b為奇數，則c必為偶數。設
a = 2 x + 1, b = 2y + 1, c = 2z，有：
4(x^2 + y^2 + x + y) + 2 = 4z^2，
2(x^2 + y^2 + x + y) + 1 = 2z^2，左邊為奇數，右邊為偶數，矛盾；
故a, b奇偶性不同，c為偶數。證明完畢。
設a為奇數，由勾股定理可得
a^2 = (c - b) (c + b)。
(c - b) 與(c + b) 互質，證明如下：
設(c - b)與 (c + b)的公約數為d，有(c - b) + (c + b) = 2c | d， (c + b) - (c - b) = 2b | d，且b, c互質，則d為1或2，
此時(c - b)(c = b) = a^2 | d。如d=2，有a | 2， 矛盾。
故(c - b) 與(c + b)互質，除1外沒有相同的因子。證明完畢。
由於a^2 = (c - b) (c + b)，(c - b) (c + b)之中的素因子成對出現，則(c - b)， (c + b) 為完全平方數。
設 c + b = s^2, c - b = t^2， 有
c = (s^2 + t^2) / 2, b = (s^2 - t^2) / 2, a = st， s, t 互質且為奇數。
自此，得到勾股陣列定理如下：
每個本原勾股陣列(a, b, c)（其中a為奇數，b為偶數，c為偶數）都可從如下公式得出：
a = st, b = (s ^ 2 - t ^ 2) / 2, c = (s ^ 2 + t ^ 2) / 2,， 其中1 ≤ t < s是互質的奇數。
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