1.簡單形式
如果n+1個物體被放進n個盒子，那麼至少有乙個盒子包含兩個或更多的物體。
例1：在13個人中存在兩個人，他們的生日在同一月份裡。
例2：設有n對已婚夫婦。為保證有一對夫婦被選出，至少要從這2n個人中選出多少人？（n+1）
2.加強形式
令q1,q2,...qn為正整數。如果將 q1+q2+...+qn-n+1個物體放入n個盒子內,那麼或者第乙個盒子至少含有q1個物體,或者第二個盒子至少含有q2個物體,...,或者第n個盒子含有qn個物體.
例3:一籃子水果裝有蘋果、香蕉、和橘子。為了保證籃子內或者至少8個蘋果或者至少6個香蕉或者至少9
個橘子，則放入籃子中的水果的最小件數是多少？（21件）
原理：集s的不具有性質p1,p2,...，pm的物體的個數由下式給出：
|a1∩a2∩...∩am|=|s|-∑|ai|+∑|ai∩aj|-∑|ai∩aj∩ak|+...+(-1)m|a1∩a2∩...∩am|
如:m=3,時上式為：
|a1∩a2∩a3|=|s|-(|a1|+|a2|+|a3|)+(|a1∩a2|+|a1∩a3|+|a2∩a3|)－|a1∩a2∩a3|
推論:至少具有性質p1,p2,...pm之一的集合s的物體的個數有：
| a1∪a2∪....∪am|=|s|—|a1∩a2∩...∩am|=
∑|ai|-∑|ai∩aj|+∑|ai∩aj∩ak|+...+(-1)m+1|a1∩a2∩...∩am|
例4：求從1到1000不能被5，6，和8整除的整數的個數？
（1000-（200+166+125）+（33+25+41）-8=600）
1.算術序列
每一項比前一項大乙個常數d；
若初始項為h0：則遞推關係為 hn=hn-1+d=h0+nd；
對應的各項為：h0，h0+d，h0+2d，....,h0+nd;
前n項的和為(n+1)h0+dn(n+1)/2
例5: 1,2,3,...
例6: 1,3,5,7...等都是算術序列。
2.幾何序列
每一項是前面一項的常數q倍
若初始項為h0：則遞推關係為 hn=h0qn-1q=h0qn；
對應的各項為: h0，h0q1，h0q2，....,h0qn
例7: 1,2,4,8,16,...
例8: 5,15,45,135,...等都是幾何序列;
前n項和為((qn+1-1)/(q-1) )h0
3.fibonacci序列
除第一、第二項外每一項是它前兩項的和；
若首項為f0為0,則序列為0，1，1，2，3，5，8...遞推關係為(n>=2)fn=fn-1+fn-2
前n項的和sn=f0+f1+f2+...+fn=fn+2-1
例9:以下是fibonacci的示例:
1.樓梯有n階台階,上樓可以一步上1階,也可以一步上2階,編一程式計算共有多少種不同的走法?
2.有一對雌雄兔,每兩個月就繁殖雌雄各一對兔子.問n個月後共有多少對兔子?
3.有n*2的乙個長方形方格,用乙個1*2的骨牌鋪滿方格。求鋪法總數？
4.錯位排列
首先看例題：
例10：在書架上放有編號為1,2,....n的n本書。現將n本書全部取下然後再放回去,當放回去時要求每本書都不能
放在原來的位置上。
例如:n=3時:
原來位置為:123
放回去時只能為:312或231這兩種
問題:求當n=5時滿足以上條件的放法共有多少種?(不用列出每種放法) (44)
錯位排列是的乙個排列i1i2...in,使得i1
<>1,i2
<>2,i3
<>3,...in
<>n
錯位排列數列為
0,1,2,9,44,265,....
錯位排列的遞推公式是:dn=(n-1)(dn-2+dn-1)(n>=3)
=ndn-1+(-1)n-2
5.分平面的最大區域數
1.直線分平面的最大區域數的序列為:
2，4，7，11，....,
遞推公式是: fn=fn-1+n=n(n+1)/2+1
2.折線分平面的最大區域數的序列為:
2, 7, 16,29, ...,
遞推公式是:fn=(n-1)(2n-1)+2n;
3.封閉曲線(如一般位置上的圓)分平面的最大區域數的序列為:
2, 4, 8, 14,...,
遞推公式是:fn=fn-1+2(n-1)=n2-n+2
6.catalan 數列
先看下面兩個例題:
例11:將乙個凸多邊形區域分成三角形區域的方法數?
令hn表示具有n+1條邊的凸多邊形區域分成三角形的方法數。同時令h1=1，則hn滿足遞推關係：
hn=h1hn-1+h2hn-2+...+hn-1h1(n>=2)(想一想,為什麼?)
該遞推關係的解為hn=c(2n-2,n-1)/n (n=1,2,3,...)
其對應的序列為1,1,2,5,14,42,132,....從第二項開始分別是三邊形,四邊形,...的分法數
即k邊形分成三角形的方法數為hk=c(2k-4,k-2)/(k-1)(k>=3)
例12:n個+1和n個-1構成2n項 a1,a2,...,a2n
其部分和滿足a1+a2+...+ak>=0(k=1,2,3,..,2n)對與n該數列為
cn=c(2k,k)/(k+1) (k>=0) 對應的序列為 1,1,2,5,14,42,132,...
序列1,1,2,5,14,42,132,....叫catalan數列。
例13：下列問題都是catalan數列。
1.有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？
2.一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果他從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？
3.在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?
4.n個結點可夠造多少個不同的二叉樹?
5.乙個棧(無窮大)的進棧序列為1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?
python數學知識 數學知識回顧01
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