篩選質數
二、約數
未完待續
質數即因子只有1和他本身的數。
常用的有分解質因數，下邊根據題目來解釋一下如何分解質因數。
輸出質因子在左邊，該質因子出現的次數在右邊，每個正整數的質因子輸出完畢之後，輸出乙個空行
分解質因數
分解質因數時間複雜度為：o(sqrt(n))題目
acwing**原題通道
給定n個正整數ai，將每個數分解質因數，並按照質因數從小到大的順序輸出每個質因數的底數和指數。
輸入樣例：
2
68
2 1
3 12 3
若要對於x分解質因數，我們從小到大列舉x的質因子，列舉到sqrt(x)，對於每乙個質因子算出他的個數即可。
在**實現中，我們是列舉了從[1,
sqrt
(x)]
[1,sqrt(x)]
[1,sqr
t(x)
]之間的所有的數，這樣做是沒有問題的！
因為當我們列舉到了i
ii的時候，此時 [2,
i−1]
[2,i-1]
[2,i−1
]之間的所有的因子全部被除乾淨了，那麼如果此時 x%i
==
0x\%i==0
x%i==0
的話，說明 x
xx 是 i
ii的倍數，並且 x
xx 中不包含任何 [2,
i−1]
[2,i-1]
[2,i−1
] 之間的數，那麼此時 i
ii 一定是 x
xx 的質數。
而且對於數 x
xx 來說，只存在乙個大於 sqr
t(x)
sqrt(x)
sqrt(x
) 的質因子，可以使用反證法，假如存在兩個大於 sqr
t(x)
sqrt(x)
sqrt(x
) 的質因子，假設為m，那麼 m∗m
m*mm∗
m 一定大於 x
xx ， 所以只存在乙個，所以我們只需要列舉 [1,
sqrt
(x)]
[1,sqrt(x)]
[1,sqr
t(x)
]
#include
using namespace std;
void
divide
(int x)
printf
("%d %d\n"
, i , s);}
// 在這裡,如果x不為1的話,x就是最後乙個質因數
if(x >1)
printf
("%d %d\n"
, x ,1)
;printf
("\n");
}int
main()
return0;
}
埃氏篩法
埃氏篩法可以幫助我們迅速篩選掉質數，原理：用乙個bool陣列來表示當前數是否是質數，從2開始遍歷，如果遍歷到質數，就把當前質數的倍數（不包含自己）全部標記為不是質數，這樣，所有的合數就一定會被篩掉。
題目給定乙個正整數n，請你求出1~n中質數的個數。
資料範圍
1≤n≤106
輸入樣例：
8輸出樣例：
4
#include
using namespace std;
const
int n =
1000010
;int n , cnt;
// cnt記錄質數的個數
int primes[n]
;bool st[n]
;void
get_primes
(int x)
}int
main()
線性篩法在10^7以上會比埃氏篩法快一倍的時間。
核心：每乙個合數都至少有乙個最小質因子，使用最小質因子將合數篩掉。
證明：
每乙個合數都會被篩掉
#include
using namespace std;
const
int n =
1000010
;int n , cnt;
// cnt記錄質數的個數
int primes[n]
;bool st[n]
;void
get_primes
(int x)}}
intmain()
p1約數的三個公式：a1 × p2
a2 × … × pn-1
an-1
× pn
an
（1）試除法求乙個數的所有約數
（2）約數個數：(a1
+1)×
(a2+
1)×.
..×(
an+1
)(a1 + 1) × (a2 + 1) × ... × (an + 1)
(a1+1)
×(a2
+1)×
...×
(an+
1)（3）約數之和：(p1
0+p1
1+…+p1
a1) × … × (pn
0+pn
1+…+pnan)
證 明：
（約數個
數）
證明：（約數個數）
證明：（約數
個數）
對於x來說，假設b為x的其中乙個約數
那麼b就可以用x的某幾個約數或者所有的約數來表示，只不過次冪不同：
b = b1^k1 * b2^k2 * ... *bn^kn
（b1,b2...bn為 p1,p2...pn中挑出來的幾個數，0<=ki<=ai）
那麼對於x的所有約數，我們都可以用p1^(0~a1) * p2^(0~a2) * ... * pn^(0~an)
來表示x的任何乙個約數
所以約數的個數為：(a1 + 1) × (a2 + 1) × ... × (an + 1)
試除法求約數個數（時間複雜度：o(sqrt(n)) ）
題目描述
給定n個正整數ai，對於每個整數ai,請你按照從小到大的順序輸出它的所有約數。輸入格式
第一行包含整數n。接下來n行，每行包含乙個整數ai。
輸出格式
輸出共n行，其中第 i 行輸出第 i 個整數ai的所有約數。資料範圍
1≤n≤100,輸入樣例：2≤ai≤2∗109
2
68
1 2 3 6
1 2 4 8
#include
#include
#include
using namespace std;
int t , n;
void
get_divisors
(int n)
}sort
(res.
begin()
, res.
end())
;for
(int x : res) cout << x <<
' ';
cout << endl;
}int
main()
return0;
}
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