１ 最短路徑演算法
在日常生活中，我們如果需要常常往返a地區和b地區之間，我們最希望知道的可能是從a地區到b地區間的眾多路徑中，那一條路徑的路途最短。最短路徑問題是圖論研究中的乙個經典演算法問題， 旨在尋找圖（由結點和路徑組成的）中兩結點之間的最短路徑。 演算法具體的形式包括：
（１）確定起點的最短路徑問題：即已知起始結點，求最短路徑的問題。
（２）確定終點的最短路徑問題：與確定起點的問題相反，該問題是已知終結結點，求最短路徑的問題。在無向圖中該問題與確定起點的問題完全等同，在有向圖中該問題等同於把所有路徑方向反轉的確定起點的問題。
（３）確定起點終點的最短路徑問題：即已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑。
（４）全域性最短路徑問題：求圖中所有的最短路徑。
用於解決最短路徑問題的演算法被稱做「最短路徑演算法」， 有時被簡稱作「路徑演算法」。 最常用的路徑演算法有：dijkstra演算法、a*演算法、bellman-ford演算法、floyd-warshall演算法、johnson演算法。
本文主要研究dijkstra演算法的單源演算法。
２ dijkstra演算法
2.1 dijkstra演算法
dijkstra演算法是典型最短路演算法，用於計算乙個節點到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴充套件，直到擴充套件到終點為止。dijkstra演算法能得出最短路徑的最優解，但由於它遍歷計算的節點很多，所以效率低。
dijkstra演算法是很有代表性的最短路演算法，在很多專業課程中都作為基本內容有詳細的介紹，如資料結構，圖論，運籌學等等。
2.2 dijkstra演算法思想
dijkstra演算法思想為：設g=(v,e)是乙個帶權有向圖，把圖中頂點集合v分成兩組，第一組為已求出最短路徑的頂點集合（用s表示，初始時s中只有乙個源點，以後每求得一條最短路徑 , 就將 加入到集合s中，直到全部頂點都加入到s中，演算法就結束了），第二組為其餘未確定最短路徑的頂點集合（用u表示），按最短路徑長度的遞增次序依次把第二組的頂點加入s中。在加入的過程中，總保持從源點v到s中各頂點的最短路徑長度不大於從源點v到u中任何頂點的最短路徑長度。此外，每個頂點對應乙個距離，s中的頂點的距離就是從v到此頂點的最短路徑長度，u中的頂點的距離，是從v到此頂點只包括s中的頂點為中間頂點的當前最短路徑長度。
2.3 dijkstra演算法具體步驟
（1）初始時，s只包含源點，即s＝，v的距離為0。u包含除v外的其他頂點，u中頂點u距離為邊上的權（若v與u有邊）或 ）（若u不是v的出邊鄰接點）。
（2）從u中選取乙個距離v最小的頂點k，把k，加入s中（該選定的距離就是v到k的最短路徑長度）。
（3）以k為新考慮的中間點，修改u中各頂點的距離；若從源點v到頂點u（u u）的距離（經過頂點k）比原來距離（不經過頂點k）短，則修改頂點u的距離值，修改後的距離值的頂點k的距離加上邊上的權。
（4）重複步驟（2）和（3）直到所有頂點都包含在s中。
2.4 dijkstra演算法舉例說明
如下圖，設a為源點，求a到其他各頂點（b、c、d、e、f）的最短路徑。線上所標註為相鄰線段之間的距離，即權值。（注：此圖為隨意所畫，其相鄰頂點間的距離與圖中的目視長度不能一一對等）
圖一：dijkstra無向圖
演算法執行步驟如下表：
參考文獻
[1] 黃國瑜、葉乃菁，資料結構，清華大學出版社，2023年8月第1版
[2] 最短路徑，
[3] 李春葆，資料結構教程，清華大學出版社，2023年1月第1版
[3] dijkstra演算法，
最短路徑 之Dijkstra演算法
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