最短路徑之Dijkstra演算法

這裡，我們想要得出節點a（節點1）到節點b（節點5）的最短路徑，就是怎麼走可以使得權重值的和最小，每一條邊都有乙個權重。

今天我們介紹的d演算法就是解決這類問題的，這是一種貪心演算法，每次只取權重和最小的點，通過不斷加入節點，來更新源節點a到各個節點的最短路徑，直到所有節點遍歷完。

演算法步驟：

1、定義，遍歷過的節點集合為s，集合u為其餘節點（即未遍歷）。初始時，s只包含源點v，即s＝，v的距離為0。u包含除v外的其他頂點，即:u=。若v與u中頂點u有邊，則正常有權值，若u不是v的出邊鄰接點，則權值為∞。

注：這裡集合s、u，是為了判斷哪些節點已經遍歷過，如果u為空了，就不繼續執行。

2、從集合u中選取乙個距離v最小的頂點k，把k加入到s中。

3、以k為新考慮的中間點，修改v到u中各頂點的距離；若從源點v到頂點w的距離（經過頂點k）比原來距離（不經過頂點k）短，則修改v到w的距離值。

例子:

4、重複步驟2、3直到所有頂點都包含在s中。

1、初始化步驟

用乙個一維陣列dis來表示節點1到各個節點的最短路徑（即權重），沒有連線的用∞表示。除此之外，為了防止節點重複計算，我們把節點分成兩組，一組已經遍歷的節點集合s，另一組還沒遍歷集合u。初始化的時候，節點1在集合s中。

注：節點1到自己的權重為0。

2、從集合u中獲取離節點1最近的點（參考u在陣列中的最小值，是節點2），加入到集合s，並重新計算dis陣列。

（1）節點2有到節點3和4的邊，所以陣列dis的3和4位置的值可能會變動。

（2）2到3的權重為10，所以1到3的權重為17（7+10），17大於9，所以不用變動。

（3）3到4的權重為15，所以1到4的權重為22（7+15），22小於無窮，所以dis[4]=22。（這裡陣列角標大家注意下，dis[4]表示第四個位置，起始位置為1）

3、重複步驟2，獲取u裡面距離最近的點（這裡為節點3），重新計算dis陣列。

（1）節點3這裡和4、6有邊，所以dis的位置4、6可能需要修改值。（節點2在s中，只考慮u中沒遍歷過的節點）。

（2）3到4的權重為11，所以1到4的權重為20（9+11），小於22（dis[4]），所以dis[4]=20。

（3）3到6的權重為2，所以1到6的權重為11（9+2），小於14（dis[6]），所以dis[6]=11。

4、重複步驟2，取節點6加入s，重新計算dis。

節點6只有到5的邊了，所以只修改dis[6]的值。這裡節點1到節點5的權重為20（11+9），小於無窮（dis[5]），所以dis[5]=20。

5、繼續重複。

這次獲取到節點4，從dis陣列可以知道1到4的權重（20）已經大於等於1到5的權重（20），所以無論如何也無法從節點4取到權重更小的路徑了，所以可以捨棄（d演算法是無法解決負權重問題，所以圖的權重必須為正）。

由於節點1到節點5沒有邊連線，所以權重為無窮，大於20。所以，演算法的最終結果就是：

節點1到節點5的最短路徑是20，

順序是1->3->6->5。

有了演算法，必須要有**才有說服力，這裡我用c語言實現了d演算法的**，大家有興趣慢慢看，慢慢研究。我貼的是部分**，其他不重要**省略。

預定義變數：

資料初始化：

d演算法具體邏輯方法：

執行結果：