問題：編制程式，計算從點a(0,0)到點b(m,n)的路徑數。行走方向只能向上或向右。
+--+--+--+--+--+b(m,n)
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+--+--+--+--+--+
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+--+--+--+--+--+
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+--+--+--+--+--+
a(0,0)
一條從a到b的路徑將有m次向右行走和n次向上行走。如果將向右行走標記為0，將向上行走標記為1，則一條從a到b的路徑對應乙個長度為m+n的0-1串，其中含m個0和n個1，例如，下面的路徑
+--+--+--+--****b(m,n)
| | | | * |
+--+--+--+--*--+
| | | | * |
+--**********--+
| * | | | |
****--+--+--+--+
對應的0-1串為：01000110
因此，路徑數=長度為m+n的0-1串的個數（m個0，n個1），其值為(m+n)!/m!n!，即c(m+n,m)(表示乙個二項式係數)。
這裡我們考慮一下路徑數的遞推計算方法：一條從a到b的路徑必經p(m-1,n)及q(m,n-1)之一
p(m-1,n)
+--+--+--+--*--+b(m,n)
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+--+--+--+--+--*q(m,n-1)
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+--+--+--+--+--+
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+--+--+--+--+--+
記從(0,0)到(m,n)的路徑數為path(m,n)，由加法原理，
path(m,n)=path(m-1,n)+path(m,n-1) (m,n>0)
且path(0,n)=path(n,0)=1 (n>=0)
由此可得下面的計算程式：
for (y=0; y<=n; y++)
path[0][y]=1;
for (x=1; x<=m; x++)
用乙個二維陣列，可以計算出(0,0)到(m,n)的路徑數。
～～～～～～～～～～
觀察從x列推進到x+1列時的遞推格式：
path[x][n] ---> path[x+1][n]a|
path[x][n-1] ---> path[x+1][n-1]a|
path[x][n-2] ---> path[x+1][n-2]a|
...a
|path[x][2] ---> path[x+1][2]a|
path[x][0] ---> path[x+1][1]a|
path[x][1] ---> path[x+1][0]
由於計算path[x+1][k]時只需要用到path[x][k]及path[x+1][k-1]的值，即path[x+1][k]只用到第x行乙個值，且該值在遞推第x+1行的過程中僅僅用到一次，因此，我們可以只用乙個一維陣列p來進行路徑數的計算，開始時，該陣列儲存x=0列的所有路徑數
for (y=0; y<=n; y++)
path[y]=1;
在從第x列遞推到第x+1列時，我們從y=0到n進行遞推，當y=0時，path[y]的值不變，而當y>0時有：
for (y=1; y<=n, y++)
path[y] += path[y-1];
這樣，按上述遞推關係推經到x=m的行後，path[n]即為路徑數。
完整的演算法為：
for (y=0; y<=n; y++)
path[y]=1;
for (x=1; x<=m; x++)
for (y=1; y<=n, y++)
path[y] += path[y-1];
演算法的時間複雜性為o(mn)。
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利用上述遞推計算的思想，可以解決一些趣味數學中的問題，例如：
問題一、計算下圖中從a到b的路徑數。
+--+--+--+--+--+b(m,n)
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+--+--+--+--+--+
| | | |
+--+ +--+
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+--+ +--+
| | | |
+--+--+--+--+--+
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+--+--+--+--+--+
a(0,0)
利用基本遞推關係，可以得到：
1--6--11-16-26-52
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1--5--5--5--10-26
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1--4 5--16
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1--3 5--11
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1--2--3--4--5--6
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1--1--1--1--1--1
問題二、計算下圖中從a到b的路徑數
+---+---+---+---+---+b
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+---+---+---+---+---+
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+---+---+---+---+---+---+---+---+
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+---+---+---+---+---+
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+---+---+---+---+---+
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+---+---+---+---+---+
a同樣利用基本的遞推關係可以得到：
20--75--186-353-576-855
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20--55--111-167-223-279
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1---4---10--20--35--56--56--56--56
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1---3---6---10--15--21
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1---2---3---4---5---6
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1---1---1---1---1---1
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