如何把下列遞迴公式
f(n)=f(0)*f(n-1-0)+f(1)*(n-1-1)+f(2)*f(n-1-2)+....+f(n-1-0)*f(0)
轉化為
f(n)= c(2n,n)/(n+1)
可以利用母函式（發生函式）
令g(x)=f(0)+f(1)x+f(2)x^2+...
那麼遞迴公式左邊就是g(x)的n次項係數。右邊是g(x)^2的n-1次項係數。
所以我們有(注意到零次項係數這個小問題，所以加1）
g(x)=x*g(x)^2+1
解出g(x)=(1-sqrt(1-4x))/2x
sqrt(1-4x)可以用廣義的二項式定理展開，並且寫成關於x的形式冪級數（就是無限項的多項式），
(1-sqrt(1-4x))的n+1次項係數就是我們要求的，恰好是c(2n,n)/(n+1)
由二項式定理
即sqrt(1-4x)中x^(n+l)項的係數為
的係數為正
p=a1a2a3
...an為n個數a1a2a3
...an的乘積,依據乘法的結合率,不改變其順序,只用括號表示成對的乘積.試問有幾種不同的乘法方案?
令pn 表示n個數乘積的n-1對括號插入的不同方案數.
則pn 為第n-1個catalan數 = c(2n-2）,n-1)/n
以n=4為例
參考：
牛頓二項式定理的證明及其應用.pdf
《數學分析》
《組合數學》
Catalan數（卡特蘭數）
卡特蘭數 規定h 0 1，而h 1 1，h 2 2，h 3 5，h 4 14，h 5 42，h 6 132，h 7 429，h 8 1430，h 9 4862，h 10 16796，h 11 58786，h 12 208012，h 13 742900，h 14 2674440，h 15 969484...
卡特蘭數 Catalan數
卡特蘭數 規定h 0 1，而h 1 1，h 2 2，h 3 5，h 4 14，h 5 42，h 6 132，h 7 429，h 8 1430，h 9 4862，h 10 16796，h 11 58786，h 12 208012，h 13 742900，h 14 2674440，h 15 969484...
Catalan數（卡特蘭數）
2012 04 12 21 08 13 標籤 卡特蘭數 原始出處 作者資訊和本宣告。否則將追究法律責任。卡特蘭數 規定h 0 1，而h 1 1，h 2 2，h 3 5，h 4 14，h 5 42，h 6 132，h 7 429，h 8 1430，h 9 4862，h 10 16796，h 11 58...