鑑於 \(ccf\) 欽定不考 \(fft\) 和 \(ntt\) ，不在這裡寫有關 \(fft\) 和 \(ntt\) 的題。
cf1278f cards
題目大意
你有一副牌，這副牌一共 \(n\) 站牌，其中有一張是 \(joker\) ，你想隨機從中抽一張牌，抽 \(n\) 次，設共抽到 \(x\) 次 \(joker\) ，現在你想直到 \(x^k\) 的期望是多少。
\(1 \le n, m \le 998244352, 1 \le k \le 5000\)
題解
首先設 \(p = \frac\) ，則 \(ans = \sum_^n \binom p^i (1-p)^ i^k\) ，本質是列舉抽到多少次 \(joker\) 。
但是顯然不能列舉到 \(n\) ，於是考慮優化，看到 \(i^k\) 不難想到用第二類斯特林數。
\[ans = \sum_^n \binom p^i(1-p)^ \sum_^k i^}
\]\[ans = \sum_^k \sum_^n \binom p^i(1-p)^ i^}
\]考慮式子後面的部分。
\[\sum_^n \binom p^i(1-p)^ i^}
\]\[= \sum_^n \binom \binom j! p^i (1-p)^
\]\[= \binom j! \sum_^n \binom p^i (1-p)^
\]\[= n^} \sum_^ p^ (1-p)^
\]\[= n^} p^j
\]帶入原式，則：
\[ans = \sum_^k n^} p^j
\]由於 \(k\) 很小，所以可以直接 \(o(k^2)\) 求，當然也可以 \(o(k \log k)\) 卷積求。
乙個簡單的數學題
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NYOJ 題目330乙個簡單的數學題（數學）
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