本文**了線段樹的幾種模型和一些例題。
線段樹，是一類可以在對數複雜度內處理區間型問題的資料結構。
這是一張線段樹的圖。容易發現，線段樹是一棵二叉樹，每個節點儲存了這個節點管理的區間 \(l,r\)（黑色數字）這個區間的 \(\operatorname\)（紅色數字）（也可以是 \(\max,\min\) 等等）。
在圖中，我們發現了線段樹的一些特徵：乙個節點的兩個兒子節點分別管理這個節點的一半，乙個節點的 \(\operatorname\) 值等於兩個兒子節點的 \(\operatorname\) 值。通過這兩個特徵，就可以通過遞迴的方式構造一棵線段樹（應該都知道二叉樹的簡便構造方法吧）。
ci n = 1e5, n4 = 4e5; int sum[n4 + 5], l[n4 + 5], r[n4 + 5], arr[n + 5]; // 線段樹需要開四倍大小
void pushup (int root) // 線段樹子節點向父親節點更新
void build (int root, int l, int r) // 葉子節點
int mid = (l + r) >> 1; build (root << 1, l, mid); build (root << 1 | 1, mid + 1, r);
pushup (root); // 向上更新
}
（那你寫線段樹幹嘛）。但是我們發現，從 \([1,1]\) 到 \([4,4]\) 的和就是 \([1,4]\) 的 \(\operatorname\) 值。所以 \([1,7]\) 的和就等於 \([1,4],[5,6],[7,7]\) 的和。但是怎麼判斷查詢區間可以分成幾個小區間呢？考慮分類，我們從根節點向下遞迴（因為從上向下遞迴的，可以保證分割的區間數最少）：如果當前區間包含在查詢區間內，那麼直接返回該節點 \(\operatorname\) 值；如果查詢區間與當前區間的左兒子有交集，向左兒子遞迴；如果右兒子有交集，向右兒子遞迴。
int sum (int root, int l, int r)void change (int root, int x, int k) // 到達葉子節點
if (l[root] > x || r[root] < x) return ;
int mid = (l[root] + r[root]) >> 1;
if (x <= mid) change (root << 1, x, k);
else if (x > mid) change (root << 1 | 1, x, k);
pushup (root); // 向上更新
}
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