省選集訓2022 模擬賽13

題目描述

有 \(n\) 個元素 \(\\)，\(m\) 次詢問 \([l_i,r_i]\)，問滿足 \(l_i\leq x的三元組 \((x,y,z)\)，其最大的 \(a_x+a_y+a_z\) 是最少。

\(n,m\leq 5\cdot 10^5,a_i\leq 10^9\)

解法

首先考慮 \(m=1\) 怎麼做？乙個關鍵的 \(\tt observation\) 是：只有滿足 \(a_x>a_,a_...a_\)，\(a_y>a_,a_...a_\) 的 \((x,y)\) 才是可能對答案有貢獻的，並且這樣的二元組只有 \(o(n)\) 對。

那麼我們可以從後往前列舉 \(x\)，並且維護單調棧，那麼 \(y\) 只可能是單調棧被彈出的元素和棧頂的元素，那麼知道 \(x,y\) 之後 \(z\) 就是字尾最大值，這樣就成功解決了 \(m=1\) 的情況。

回到本題，我們把詢問掛在左端點處，只需要對 \(z\) 維護線段樹，就可以把 \(z\) 的範圍限制在 \([l_i,r_i]\)，時間複雜度 \(o(n\log n)\)

總結

找結論的乙個方向是，考慮可能貢獻的元素。本題因為確定 \(x,y\) 之後才能確定 \(z\)，所以必須要找結論。

此外列舉的量不要侷限，我一開始列舉 \(y\) 怎麼都想不出來，要是列舉 \(x\) 這題可能會好做得多。

單調棧的應用不止有處理 \(\max/\min\) 的功能，還可以幫助你只考慮有貢獻的資訊。

#include #include #include using namespace std;
const int m = 500005;
const int n = m<<2;
#define int long long
int read()
while(c>='0' && c<='9') 
return x*f;
}void write(int x)
int n,m,tp,a[m],b[n],s[m],ans[m],tr[n],mx[n];
struct node;vectorq[m];
void build(int i,int l,int r)
int mid=(l+r)>>1;
build(i<<1,l,mid);
build(i<<1|1,mid+1,r);
tr[i]=b[i]=max(b[i<<1],b[i<<1|1]);
}void zxy(int i,int c)
void upd(int i,int l,int r,int l,int r,int c)
int mid=(l+r)>>1;
zxy(i<<1,mx[i]);zxy(i<<1|1,mx[i]);
upd(i<<1,l,mid,l,r,c);
upd(i<<1|1,mid+1,r,l,r,c);
tr[i]=max(tr[i<<1],tr[i<<1|1]);
}void add(int x,int y)
int ask(int i,int l,int r,int l,int r)
signed main()
);	}
for(int i=n;i>=1;i--)
for(int i=1;i<=m;i++)
write(ans[i]),puts("");
}

題目描述

給定 \(n\) 個點 \(m\) 條邊的無向圖，邊權為 \(1\)，點 \(i\) 可以花費 \(c_i\) 的代價到達所有距離 \(\leq d_i\) 的城市。保證圖聯通，求出 \(1\) 到所有點的最短路。

\(n\leq 2\cdot 10^5,c_i\leq 10^9,n-1\leq m\leq n+50\)

解法

首先考慮樹的情況怎麼做，顯然的思路是點分治優化建圖，然後跑最短路即可。

那麼對於圖的情況，我們先任取一棵生成樹，然後對其點分治優化建圖。現在非樹邊是沒有考慮到的，我們只需要讓路徑強制經過非樹邊的某個端點即可，所以我們以取非樹邊的乙個端點為根 \(\tt bfs\)，然後優化建圖即可。

時間複雜度 \(o(n\log ^2n+nk\log n)\)

為了去掉複雜度中的 \(o(\log n)\) 其實有更好的方法，由於代價是點代價，所以每個點只會被訪問一次，那麼樹的情況我們可以不把圖顯式地建出來，在點分樹上維護指標即可做到 \(o(n\log n)\)；\(\tt bfs\) 也可以類似地維護指標，時間複雜度 \(o(n\log n+nk)\)

下面貼上我深度卡常的法 \(1\) **，注意這個**只能獲得 \(80\) 分。

總結

點代價的最短路有其特殊性（訪問即確定，只會訪問一次），一定要注意。

#pragma gcc optimize("ofast")
#include #include #include #include #include #include #include using namespace std;
const int m = 200005;
const int n = 80*m;
#define pb push_back
#define ll long long
#define pii pairint read()
while(c>='0' && c<='9') 
return x*f;
}void write(ll x)
int n,m,rt,sz,a[m],b[m],c[m],d[m],vis[m],mx[m],siz[m];
vectorg[m],g[m];int cnt,m1,m2,tot,f[n];ll dis[n];
struct edgee[n*3];
struct node
};void pre(int u,int fa)
pre(v,u);g[u].pb(v);g[v].pb(u);	}}
void find(int u,int fa)
mx[u]=max(mx[u],sz-siz[u]);
if(mx[u]=d) b[++m2]=;
for(int v:g[u])	}
void add(int u,int v)
,f[u]=tot;
}void work()
if(x) add(b[i].u,x);
if(x!=lst && lst) add(x,lst);lst=x;	}}
void solve(int u)
}void bfs(int s)
;		if(b[u]>=d[u]) b[++m2]=;
for(int v:g[u]) if(d[v]==-1)
d[v]=d[u]+1,q.push(v);	}}
void dijk()
);	while(!q.empty())
);			}
}	}}signed main()
for(int i=1;i<=n;i++)
b[i]=read(),c[i]=read();
pre(1,0);
//work for tree
memset(vis,0,sizeof vis);
mx[rt=0]=sz=n;find(1,0);solve(1);
//work for graph
for(int i=1;i<=n;i++) if(a[i])
dijk();
for(int i=2;i<=n;i++)
write(dis[i]),puts("");
}

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