本部落格還是從二維偏序開始鋪墊，對cdq分治進行講解（實際上是給自己講，因為沒人看）。
前置知識：歸併排序
cdq分治的學習需要保證對歸併排序的理解，雖然它是乙個基礎演算法。
給定 \(n\) 個元素，第 \(i\) 個元素有兩個屬性 \(a_i\) 和 \(b_i\) ，設 \(f(i)\) 為滿足 \(a_j \leq a_i,b_j \leq b_i,j \neq i\) 的 \(j\) 的個數，對於每乙個 \(0 \leq d \leq n - 1\) ，求滿足 \(f(i) = d\) 的 \(i\) 的個數。
我們可以發現，對於乙個元素 \(i\) ，只有滿足 \(a_j \leq a_i\) 的元素才有可能對 \(f(i)\) 產生貢獻。
不就是要單個屬性小於等於嗎，太簡單了！我們只需要對屬性 \(a\) 單獨排序即可！
那麼屬性 \(b\) 呢？注意到對 \(f(i)\) 有貢獻的元素要滿足 \(b_j \leq b_i\) ，那麼在排序後，我們需要獲取在某個元素前面的滿足 \(b_j \leq b_i\) 的個數，這一部分顯然使用值域 bit ，按順序跑元素，然後乙個乙個加入，然後求字首和即可。
有乙個問題，如果兩個元素的 \(a\) 相同，然而 \(b\) 小一點的排到了後面，會發生什麼？
這乙個的貢獻算不到了。
所以，在 \(a\) 相同的元素內，我們應該對 \(b\) 排序。
所以 cmp 函式長這個樣子：
bool cmp(node x,node y)p3810
在二維偏序中，我們在滿足 \(a\) 有序的情況下，對 \(b\) 使用值域 bit 得到了答案。
現在三維偏序多了乙個屬性，我們無法在一次排序內對兩個屬性進行排序，怎麼辦呢...
對新進來的屬性進行歸併排序。
假設我們一開始排序 \(a\) ,對 \(b\) 跑歸併，對 \(c\) 用值域 bit。
在歸併排序的過程中，分析左邊區間對右邊區間的貢獻。
為什麼可以這樣算？
由於歸併排序是把原來的陣列拆成一半一半的小區間，在拆的過程中我們未曾改變順序，所以第一次開始算的時候，\(a\) 是有序的！
然後，我們合併區間上去，由於我們之前只是在小區間內合併，對於右邊的大區間，我們的 \(a\) 仍然是有序的！
所以，我們可以直接分析左邊區間對右邊區間的貢獻了（右邊區間內部自己的貢獻，和左邊區間內部自己的貢獻並不在考慮範圍內，這部分會在之前更小的區間的歸併排序過程中計算出來）。
這部分長這個樣子。
void solve(int l,int r)
else
} while(posl <= mid)
while(posr <= r)
for(int i = l;i <= mid;i ++)t.update(e[i].c,-e[i].cnt);
for(int i = l;i <= r;i ++)e[i] = tmp[i];
}
f 就是這個元素的函式值。
在「並」的過程中，我們保證了 \(b\) 一定是排序好的，既然如此，我們就可以對 \(c\) 用值域 bit 了。對於左邊的區間，進行乙個值域樹狀陣列的加，對於右邊的區間，直接在值域 bit 中屬性 \(c\) 小於它的個數，值域 bit 裡面只有左區間的元素，所以這就是左區間對右區間的貢獻。
這個題就結束了。
由於 cdq分治 只能一次性處理完，所以跑 cdq分治 需要如下條件：
修改操作對詢問的貢獻獨立，修改操作相互不影響
題目可以離線處理
cdq分治（在這個題中）實際上幫助我們做到的是通過對時間複雜度增加乙個log來降維。
那麼，跟上面講解一樣的，在cdq分治中，對於劃分出來的兩個區間，前乙個子問題需要用來解決後乙個子問題。
想必到這裡，不會有人不懂了吧（
不懂歡迎問我。
貼上完整**。
#include#define int long long
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define frein freopen("in.in","r",stdin)
#define freout freopen("out.out","w",stdout)
#define debug(x) cout << (#x) << " = " << x << endl;
using namespace std;
int read()
while(ch >= '0' && ch <= '9')s = s * 10 + ch - '0',ch = getchar();
return s * w;
}int maxm;
int lowbit(int x)
struct bit
int query(int i)
}t;struct nodee[100010],tmp[100010];
int n;
int ans[100010];
int cnt = 1;
bool cmp(node x,node y)
void solve(int l,int r)
else
} while(posl <= mid)
while(posr <= r)
for(int i = l;i <= mid;i ++)t.update(e[i].c,-e[i].cnt);
for(int i = l;i <= r;i ++)e[i] = tmp[i];
}signed main()
sort(e + 1,e + n + 1,cmp);
for(int i = 2;i <= n;i ++)
solve(1,cnt);
for(int i = 1;i <= cnt;i ++)ans[e[i].val + e[i].cnt - 1] += e[i].cnt;
for(int i = 0;i <= n - 1;i ++)printf("%lld\n",ans[i]);
return 0;
}
關於整體二分：
請叫我填坑。
2022.2.23 13:24
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