目錄譜，從某種角度出發，進行分解，以把握特徵。
對於確定性週期訊號：\(x(t),deterministic,periodic:x(t+t)=x(t)\)
，有：\(x(t)=\sum_k\alpha_ke^,\omega_k=\frac,\frac\)為基頻base frequency，其中\(\alpha_k=\frac\int_}^}x(t)e^dt\)
展開僅僅成立在\(t\in[-\frac,\frac]\)
對於非週期函式也可在區間做傅利葉級數展開，區間之外傅利葉級數是其週期延拓
基函式\(\frac}e^,k\in(-\infty,+\infty)\)是規範正交基。此時與對應函式做內積就可以直接得到係數，相當於在對應方向上的投影。
當\(t\rightarrow\infty\)，則有傅利葉變換：
\[\begin
x(t)&=\frac\sum_^[\int_}^}x(s)e^ds]e^\\
&=\frac\sum_^[\int_}^}x(s)e^s}ds]e^t}\\
&=\frac\sum_^[\int_}^}x(s)e^s}ds]e^t}\cdot\frac\\
\lim_x(t)&=\frac\int_^x(\omega)e^d\omega\\
\end
\]傅利葉變換對：
\[\left\
x(t)&=\frac\int_^x(\omega)e^d\omega\\
x(\omega)&=\int_^x(t)e^dt
\end
\right.
\]\[x(t)=\frac\sum_^[\int_}^}x(s)e^s}ds]e^t}\cdot\frac
\]相比確定訊號，隨機訊號可能存在乙個問題，積分是否收斂？
對於傅利葉變換積分收斂，存在乙個條件：\(x(t)\in l^1(\mathbb)\leftrightarrow\int_^|x(t)|dt<\infty\)。該條件對於確定性訊號，是普遍滿足的。對於不滿足的情況，通常也會做一些處理。
例如cos(t)，引入廣義函式\(\frac[\delta(\omega-1)+\delta(\omega+1)]\)面對這樣的問題，可以提供兩種解決辦法。物理的角度：可以想到的是，希望做傅利葉的是有衰減趨勢的函式，可以考慮二階的函式。大部分相關函式是衰減的（也有週期振盪的）。下面以複隨機訊號(寬平穩)為例：
\[\begin
&\frace|\int_}^}x(t)e^dt|^2\\
(&有損的變換,相位資訊消失)\\
=&\frace(\int_}^}x(t)e^dt)(\overline}^}x(s)e^ds})\\
=&\frac\int_}^}\int_}^}e[x(t)\overline]e^dtds\\
(&對於寬平穩有e[x(t)\overline]=r_x(t,s)=r_x(t-s))\\
=&\frac\int_}^}\int_}^}r_x(t-s)e^dtds\\
(&換元u=t-s,v=t+s,雅可比行列式dtds=|det\frac|dudv=\fracdudv)\\
=&\frac[\int_^0\int_^r_x(u)e^***u+\int_0^t\int_^r_x(u)e^***u]\\
=&\frac\int_^t\int_^r_x(u)e^***u\\
=&\frac\int_^t(2t-2|u|)r_x(u)e^du\\
=&\int_^t(1-\frac)r_x(u)e^du\\
則&\lim_\frace|\int_}^}x(t)e^dt|^2=\int_^r_x(u)e^du=s_x(\omega)
\end
\]\[\left\
s_x(\omega)=&\int_^r_x(u)e^du\\
r_x(u)=&\frac\int_^s_x(\omega)e^d\omega
\end
\right.
\]分析：
證明思路1：\[\begin
&上式等價於：3r_x(0)-4r_x(\tau)+r_x(2\tau)\geq0\\
&\begin
x\\y\\x
\end
\begin
r_x(0)&r_x(\tau)&r_x(2\tau)\\
r_x(\tau)&r_x(0)&r_x(\tau)\\
r_x(2\tau)&r_x(\tau)&r_x(0)\\
\end
\begin
x&y&x
\end\\ =&f_1(x,y,z)r_x(0)+f_2(x,y,z)r_x(\tau)+f_3(x,y,z)r_x(2\tau)\\
\geq&0(根據正定)\\
&解f_1=3,f_2=-4,f_3=1(待定係數法)
\end
\]證明思路2：頻域上分析
\[\begin
&已知:r_x(0)=\frac\int_^s_x(\omega)d\omega,r_x(\tau)=\frac\int_^s_x(\omega)e^d\omega\\
&則r_x(0)-4r_x(\tau)+r_x(2\tau)\\
=&\frac\int_^s_x(\omega)[3-4e^+e^]d\omega\\
&(在下面有結論:s_x(\omega)=\int_^r_x(\tau)e^d\tau=\int_^r_x(\tau)cos(\omega\tau)d\tau)\\
=&\frac\int_^s_x(\omega)[3-4cos(\omega\tau)+cos(2\omega\tau)]d\omega\\
=&\frac\int_^2s_x(\omega)[cos(\omega\tau)-1]^2d\omega\geq0
\end
\]
\(s_\neq s_x(\omega)+s_y(\omega)\)
密度：體現在是常數。
關於\(s_x(\omega)\geq0\)，從另外乙個角度分析。相關函式\(r_x(t)\)是正定的，根據bochner的結果，其傅利葉變換也是正的。
如果是實變數，功率譜是偶函式：\(s_x(\omega)=s_x(-\omega)\)。實訊號沒有負頻率的說法，其頻率負軸是頻率正軸的映象。驗證：
\[\begin
s_x(\omega)&=\int_^r_x(\tau)e^d\tau\\
&=\int_^r_x(\tau)cos(\omega\tau)d\tau-j\int_^r_x(\tau)sin(\omega\tau)d\tau\\
&(積分內部為奇函式，則\int_^r_x(\tau)sin(\omega\tau)d\tau=0)\\
&=\int_^r_x(\tau)cos(\omega\tau)d\tau\\
&=\int_^r_x(\tau)cos(-\omega\tau)d\tau=s_x(-\omega)
\end
\]flowchart lr
a["x(t)"]-->b["h(lti：線性時不變系統)"]-->c["y(t)"]
\[\begin
r_y(t,s)&=e[y(t)\overline]\\
&=e[(\int_^h(t-\tau)x(\tau)d\tau)\overline^h(s-r)x(r)dr)}]\\
&=\int_^\int_^e[x(\tau)\overline]h(t-\tau)\overlined\tau dr\\
&=\int_^\int_^r_x(\tau-r)h(t-\tau)\overlined\tau dr\\
&(1.被積函式自變數相加可消去積分變數;2.卷積結果是函式,其取自變數加和的值)\\
&(構造\widetilde(t))=\overline)\\
&=\int_^\int_^r_x(\tau-r)h(t-\tau)\widetilde(r-s)d\tau dr\\
&=(r_x*h*\widetilde)(t-s)\\
\end
\]結論:寬平穩的隨機過程通過線性系統仍然是寬平穩。
\[\begin
\widetilde(\omega)&=\int_^\widetilde(t)e^dt\\
&=\int_^\overlinee^dt\\
&=\overline^h(-t)e^dt}\\
&=\overline^h(t)e^dt}\\
&=\overline\\
s_y(\omega)&=s_x(\omega)h(\omega)\widetilde(\omega)\\
&=s_x(\omega)h(\omega)\overline\\
&=s_x(\omega)|h(\omega)|^2
\end
\]例：
\[\begin
|e[x(t)y(t)]&\leq[e(x^2(t)y^2(t))]^}\\
|r_(0)|&\leq[r_x(0)r_y(0)]^}\\
|\frac\int_^s_(\omega)d\omega|&\leq\frac[\int_^s_x(\omega)d\omega\int_^s_y(\omega)d\omega]^}\\
|\int_a^bs_(\omega)d\omega|&\leq[\int_a^bs_x(\omega)d\omega\int_a^bs_y(\omega)d\omega]^}\\(相當於經過乙個&帶通濾波器,是線性的)
\end
\]wiener-khinchine relation.
wiener：cybernetics控制論，數學，美
khinchine：排隊論之父，前蘇聯
《概率統計與隨機過程》 筆記2
定義 1設隨機試驗e的樣本空間s 若對每個試驗結果e，都有確定的實數x e 與之對應，則稱實值變數x e 為隨機變數，簡記為x。引入隨機變數後，隨機事件就可以用隨機變數的取值來表示了。定義 2設x為隨機變數，對於任意實數x，令f x p x x 稱f x 為隨機變數x的分布函式。性質 1.取值範圍 ...
隨機過程 馬爾可夫鏈 2
標籤 空格分隔 訊號處理 首先乙個非常值得提醒的就是，我們在學習隨機過程的基礎理論的時候會經常講，但是到了介紹某幾個具體的隨機過程的詳細知識的時候總會忘記，那就是乙個非常重要的前提 它是乙個平穩隨機過程。注意了，一定是平穩的，不平穩的基本上現在不涉及，不研究。然後是提到了馬爾科夫鏈的狀態轉移圖和狀態...
隨機過程 原書第2版
隨機過程 原書第2版 基本資訊 原書名 stochastic processes wiley series in probability and statistics 原出版社 wiley 譯者 龔光魯 叢書名 統計學精品譯叢 出版社 機械工業出版社 isbn 9787111430292 出版日期 ...