從經典八皇后問題看回溯演算法

八皇后問題是乙個經典的問題，這個問題最早是在2023年，由國際西洋棋棋手馬克斯·貝瑟爾提出的，在兩個世紀之後的今天，依然被人們津津樂道。這個問題的描述如下：在8×8格的西洋棋上擺放八個皇后，使其不能互相攻擊，即任意兩個皇后都不能處於同一行、同一列或同一斜線上，問一共有多少種擺法。

在解八皇后問題之前，我們先來看這樣乙個例子，如下圖所示，是遊戲的小地圖：

現在你站在了路口a，前面有四個房間1、2、3、4。其中某乙個房間有寶箱，而沒有寶箱的房間也不會有陷阱和額外的敵人，如果是你，你會如何探索前面的區域？稍加思考便可以得到答案，既然不知道寶箱具體會在**，那麼最好的方法就是地毯式搜尋，去每個房間看一下，但這個過程要想節約跑路的時間，一般我們會這樣規劃路線：

（1）從路口a出發，經過路口c，先走向房間4

（2）若房間4沒有，那麼我們退回路口c，再去探索房間3

（3）若房間3沒有，則退回路口a，經過路口b，探索房間2

（4）若房間2還是沒有，則退回路口b，探索房間1

這樣的規劃能夠確保我們走最少的重複路線，其實這就是回溯法的核心思想了，當前選擇不是最優解或者無法達到目標時，就退回上一步重新選擇，若上一步還不行就繼續回溯上上步……，以此類推。

回溯法是一種搜尋方法，通過回溯的方法，能避免一些無意義的重複計算，例如在上面的例子中，如果是按照2-3-1-4的順序搜尋，那麼就會多走一段a到b和a到c的路程，但這段路程是可以用回溯思想的規劃避開的。

現在讓我們把目光重新放回到八皇后問題上，對於這個問題，如果不採用任何演算法思想而直接暴力列舉的話，總的解空間為64選8，即c(64,8)=64!/8!*(64-8)!,可以簡單寫個程式來計算答案（因為計算過程會發生溢位，所以為了方便，這裡就直接用python偷懶了）

def
fact(n):
if n==1:
return 1
else
:        
return fact(n-1)*n
print(fact(64)/(fact(8)*fact(56)))

得到的答案為：4426165368，也就是44億種組合。很顯然，這是無法接受的。

現在來分析一下這個問題，既然我們知道所有的皇后不能在同一行、同一列和同一斜線上，那麼每行每列都只能有乙個皇后。因此我們採用逐行掃瞄的方式，一行一行地安排皇后。其基本思路為：

1.從第一行開始安排皇后

2.安排皇后時，從該行的第一列開始檢查，直到找到安全的位置為止。對於安全位置的具體檢查方法為：

（1）該列沒有其它皇后

（2）該列的左上角對角線上沒有其它皇后

（3）該列的右上角對角線上沒有其它皇后

3.若找到了安全位置，則在安全位置放置皇后，並開始安排下一層

4.若第八行已經安排好了，則說明找到了一組解，計數加一，然後重新嘗試第八行其它位置是否可行。

5.若該行沒找到安全位置，則回溯到上一行，移動上一行的皇后，重新開始安排，若上一行還是不行，則繼續回溯到上上行。

6.若回溯到第一行時，第一行所有的位置都已經放過了，證明我們已經遍歷完了所有的可能性，此時結束搜尋，輸出最終答案。

一般來說，對於八皇后問題這種8x8的矩陣，會想到用二維陣列來模擬，這肯定是可行的，但不是最優的。因為我們是逐行掃瞄的，所以其實我們需要的資訊是」前面行的皇后放置在哪一列了「。因此，只需要乙個長度為8的一維陣列，分別儲存第1到第8行皇后所在的列數。

按照之前的思路，要解決這個問題有兩個難點，一是檢查某行是否有安全位置，另乙個就是回溯的設計。

我們剛說的用一維陣列儲存每一行皇后所在的列數，陣列下標代表行數，該下標對應的元素為該行皇后所在的列數。當檢查第n行的安全位置時，思路是這樣的：

1，從第n行最左邊的一列開始，逐個往右檢查

2，檢查某一列是否可行時，需要遍歷從第一行到第n-1行的第1列到第8列，看看是否有會造成危險的皇后

定義乙個函式row_check()檢查某一行是否有安全位置，引數為行數，假設用來儲存皇后位置的陣列名為c，則c[row]表示當前嘗試擺放的皇后列數。偽**描述如下：

//
遍歷該行每一列
for(int col=0;col<8;col++)
//若檢查未通過，則進行下一次迴圈，嘗試下一列        
}

那具體的row_check的函式實現為：

bool row_check(int
row)
return
true
;}

其中需要說明幾點，c[row]==c[i]，表示當前嘗試的列數，在之前的第i行的同一列已經擺放過皇后了。而對角線的檢查是這樣的，把棋盤的行看作是x軸（i），列看作是y軸(c[i])，如果處於對角線則斜率為1或者-1，也就是y座標之差的絕對值與x座標之差的絕對值是相等的。即abs(c[row]-c[i])==abs(row-i)。

//
函式queen表示安排第row行皇后的位置
void queen(int
row)
else
//從第row行的第0列開始,逐個嘗試
for(int col=0;col<8;col++)
}

#include#include
using
namespace
std;
int total=0
;int c[8
];bool row_check(int
row)
return
true;}
void queen(int
row)
else
for(int col=0;col<8;col++)
}int
main()

從經典八皇后問題看回溯演算法

經典回溯演算法八皇后問題

經典回溯演算法（八皇后問題）

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