演算法的時間複雜度

1.演算法時間複雜度的定義

演算法的時間複雜度，也就是演算法的時間量度，記作：t(n)=o(f(n))。 它表示隨問題規模n的增大，演算法執行時間的增長率和f(n)的增長率相同，稱作演算法的漸近時間 複雜度，簡稱為-時間複雜度。其中f(n) 是問題規模n的某個函式。

這樣用o()來體現演算法時間複雜度的記法，我們稱之為大o記法。一般情況，隨著n的增大，t(n)增長最慢的演算法為最優演算法。

2.演算法時間複雜度例子

2.1 常數階

public

class
agr 
}

這個演算法的執行次數是f(n)=4,依據推導方法，常數項全部變為1,那麼這個演算法的時間複雜度即為o(1)。事實上，這種與問題的多少（n的多少），執行恆定的演算法，我們稱之為o(1)的時間複雜度，簡稱常數階。

2.2 線性階

要確定某個演算法的階次，我們需要確定某個特定語句或某個語句執行的次數。因此，分析演算法的時間複雜度，關鍵就是要分析迴圈結構的運**況。

public

class
agr 
}}

此段**的時間複雜度即為o(n),因為迴圈體中的**必須要執行n次。

2.3 對數階

public

class
agr 
}}

由於每次count*2 ，離n更近一些，也就是有多少個2相乘後大於n，便退出迴圈。2x=n 得到 x=log2n。所以此迴圈的時間複雜度為o(logn)

2.4 平方階

public

class
agr }}
}

此為乙個迴圈巢狀演算法，內外層迴圈皆為n，故總迴圈次數為n2，所以此演算法時間複雜度為o(n2).

2.5 推導出的平方階

public

class
agr }}
}

由於內層巢狀迴圈中j=i, 當i=0時， 迴圈n次，i=1時，迴圈n-1 ... 以此類推，總的迴圈次數為 n + (n-1) + (n-2) + ...... + 1 = n(n+1)/2 = n2/2 + n/2 。這時候要用到大o階的推導方法，沒有加法常數不考慮，只保留最高項， 故還剩 n2/2，另外去掉此項相乘的常數1/2,最後這個演算法的時間複雜度為o(n2).

3. 推導大o階的方法總結

1.用常數1取代執行時間中的所有加法常數，無常數的不考慮。

2.只保留最高端項。

3.最高端項存在且不是1，那麼去掉與此項相乘的常數。

按照此3項方法，推導出來的結果，即大o階。

4. 常見演算法時間複雜度所消耗時間的大小排列

o(1) < o(logn)2)

5. 最壞情況

當我們在查詢n個隨機數字陣列中的某個數字，最好的情況是第乙個數字就是，時間複雜度為o(1),最壞的情況遍歷完整個陣列才找到，時間複雜度為o(n)。 除非特別說明，我們一般指的執行時間，都是最壞情況下的執行時間，時間複雜度也是最壞情況下的時間複雜度。

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