演算法時間複雜度空間複雜度

2021-10-01 16:41:38 字數 2581 閱讀 2719

演算法：是解決某一類問題的通法，即一系列清晰無歧義的計算指令。每個演算法只能解決具有特定特徵的一類問題，但乙個問題可由多個演算法解決。

乙個演算法應該有以下五個方面的特性：

比較演算法的優劣我們從兩個維度去進行考量：時間  空間（時間複雜度，空間複雜度）

找出基本語句：演算法中執行次數最多的那條語句就是基本語句，通常是最內層迴圈的迴圈體。

計算基本語句的執行次數的數量級：只需計算基本語句執行次數的數量級，這就意味著只要保證基本語句執行次數的函式中的最高次冪正確即可，可以忽略所有低次冪和最高次冪的係數。這樣能夠簡化演算法分析，並且使注意力集中在最重要的一點上：增長率。

用大ο符號表示演算法的時間效能：將基本語句執行次數的數量級放入o()中。如果演算法中包含巢狀的迴圈，則基本語句通常是最內層的迴圈體，如果演算法中包含並列的迴圈，則將並列迴圈的時間複雜度相加。例如：

for (i=1; i<=n; i++)  

x++;  

for (i=1; i<=n; i++)  

for (j=1; j<=n; j++)  

x++;  

第乙個for迴圈的時間複雜度為ο(n)，第二個for迴圈的時間複雜度為ο(

「 大o符號表示法 」，即 t(n) = o(f(n))，在 大o符號表示法中，時間複雜度的公式是： t(n) = o( f(n) )，其中f(n) 表示每行**執行次數之和，而 o 表示正比例關係，這個公式的全稱是：演算法的漸進時間複雜度。（也可以這樣理解：時間複雜度就是程式計算次數）

我們來看乙個例子：

for(i=1; i<=n; ++i)   （1）
假設每行**的執行時間都是一樣的，我們用 1顆粒時間 來表示，那麼這個例子的第一行耗時是1個顆粒時間，第三行的執行時間是 n個顆粒時間，第四行的執行時間也是 n個顆粒時間（第二行和第五行是符號，暫時忽略），那麼總時間就是 1顆粒時間 + n顆粒時間 + n顆粒時間 ，即 (1+2n)個顆粒時間，即： t(n) =  (1+2n)*顆粒時間，從這個結果可以看出，這個演算法的耗時是隨著n的變化而變化，因此，我們可以簡化的將這個演算法的時間複雜度表示為：t(n) =  o(n)

為什麼可以簡化呢？ 因為大o符號表示法並不是用於來真實代表演算法的執行時間的，它是用來表示**執行時間的增長變化趨勢的。在上面的例子中，當n無限大的時候，t(n) =  time(1+2n)中的常量1就沒有意義了，倍數2也意義不大。因此直接簡化為t(n) =  o(n) 就可以了。

常見的時間複雜度量級有：    

常數階o(1)

int i = 1;


int j = 2;


++i;


j++;


int m = i + j;
ο(1)表示基本語句的執行次數是乙個常數，一般來說，只要演算法中不存在迴圈語句，其時間複雜度就是ο(1)。

對數階o(logn)

int i = 1;


while(i在while迴圈裡面，每次都將 i 乘以 2，乘完之後，i 距離 n 就越來越近了。我們試著求解一下，假設迴圈x次之後，i 就大於 2 了，此時這個迴圈就退出了，也就是說 2 的 x 次方等於 n，那麼 x =：o(logn)


線性階o(n)


for(i=1; i<=n; ++i)
for迴圈裡面的**會執行n遍，因此它消耗的時間是隨著n的變化而變化的，因此這類**都可以用o(n)來表示它的時間複雜度。

線性對數階o(

for(m=1; m線性對數階o(nlogn) 其實非常容易理解，將時間複雜度為o(logn)的**迴圈n遍的話，那麼它的時間複雜度就是 n * o(logn)，也就是了o(nlogn)。


平方階o(n²)


for(x=1; i<=n; x++)


}
把 o(n) 的**再巢狀迴圈一遍，它的時間複雜度就是 o(n²)

立方階o(n³)  相當於三層 n 迴圈

k次方階o(

指數階(

空間複雜度是演算法在執行過程中臨時占用的儲存空間大小的度量，乙個演算法在計算機儲存器上所占用的儲存空間，包括儲存演算法本身所占用的儲存空間，演算法的輸入輸出資料所占用的儲存空間和演算法在執行過程中臨時占用的儲存空間這三個方面。

如當乙個演算法的空間複雜度為乙個常量，即不隨被處理資料量n的大小而改變時，可表示為o(1)；當乙個演算法的空間複雜度與以2為底的n的對數成正比時，可表示為0(10g2n)；當乙個演算法的空i司複雜度與n成線性比例關係時，可表示為0(n).若形參為陣列，則只需要為它分配乙個儲存由實參傳送來的乙個位址指標的空間，即乙個機器字長空間；若形參為引用方式，則也只需要為其分配儲存乙個位址的空間，用它來儲存對應實參變數的位址，以便由系統自動引用實參變數。

int nums_copy = new int[nums.length];  // 陣列初始化   都為0


for (int i = 0; i < nums.length; i++)  else 


}
實際使用中我們經常採用犧牲空間換時間的方法來降低時間複雜度。

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