1. 集合的概念與表示
集合的概念
定義： 由若干元素組成的整體.
性質： 確定性、互異性、無序性.
元素與集合的關係
如果 \(a\) 是集合 \(a\) 的元素，則 \(a \in a\) ，否則 \(a \notin a\) .
表示方法
列舉法： \(a=\\),\(b=\\) .
描述法： \(a=\\),\(b=\=\\}\) .
常用數集
例題2. 集合的關係與運算
集合間的關係
子集相等
對於兩個集合 \(a,b\) ，如果集合 \(a\) 與集合 \(b\) 中的元素是一樣的，就稱集合 \(a\) 與集合 \(b\) 相等，記作 \(a=b\)。
兩個集合相等可以通過 \(a \subseteq b\) 且 \(b \subseteq a\) 來說明。
子集的個數
對於乙個有 \(n\) 個元素的集合（ \(n\) 元集），其子集的個數分以下幾種情況：
集合的基本運算
1. 並集
一般地，有所有屬於集合 \(a\) 或屬於集合 \(b\) 的元素組成的集合，稱為結合 \(a\) 與 集合 \(b\) 的並集，記作 \(a \cup b\) （讀作 \(a\) 並 \(b\)） ，即 \(a \cup b=\\) 。
2. 交集
一般地，有所有屬於集合 \(a\) 且屬於集合 \(b\) 的元素組成的集合，稱為結合 \(a\) 與 集合 \(b\) 的交集，記作 \(a \cap b\) （讀作 \(a\) 交 \(b\)） ，即 \(a \cap b=\\) 。
3. 補集
- 一般地如果乙個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，則稱這個集合為全集，通常記作 \(u\)。
- 對於乙個集合 \(a\)，由全集 \(u\) 中不屬於集合 \(a\) 的所有元素組成的集合稱為集合 \(a\) 相對於全集 \(u\) 的補集，記作 \(\complement_ua\)，即 \(\complement_ua=\\)。
4. 差集
由所有屬於集合 \(a\) 且不屬於集合 \(b\) 的元素構成的集合稱為集合 \(a\) 關於集合 \(b\) 的差集，記作 \(a - b\) ，即 \(a-b=\\)。
集合的運算性質
venn 圖
我們常用平面內的封閉曲線的內部表示乙個集合，這種表示法被稱為 venn 圖。venn diagram
例題邏輯聯結詞、遠端與存在量詞
邏輯聯結詞
命題定義：能夠判斷真假的語句
分類：按命題的正確與否，可分為真命題，假命題；按是否含有邏輯聯結詞，可分為簡單命題，復合命題。
邏輯聯結詞
或（ \(\lor\) ），且（ \(\land\) ），非（ \(\lnot\) ）。
判斷復合命題的真假
研究復合命題的構成形式；判斷其中簡單命題的真假；根據真值表判斷復合命題的真假。
全稱量詞與存在量詞
全稱量詞是指在語句中含有短語「所有的」、「每乙個」、「任意」、「一切」等表示該指定範圍內的全體物件的含義的詞，並用符號 \(\forall\) 表示。
存在量詞是指在語句中含有短語「存在乙個」、「至少有乙個」、「有些」、「有乙個」、「對某個」等表示存在意義的詞，並用符號 \(\exists\) 表示。
一般地，對於全稱命題 \(p: \forall x \in m,p(x)\)，它的否定命題 \(\lnot p: \exists x \in m,\lnot p(x)\)；對於特殊命題 \(p: \exists x \in m,p(x)\)，它的否定命題 \(\lnot p: \forall x \in m,\lnot p(x)\)；全稱命題的否定是特殊命題，特殊命題的否定是全稱命題。
例題命題及其關係、充分必要條件
四種命題
一般地，用 \(p\) 和 \(q\) 分別表示原命題的條件和結論，用 \(\lnot p\) 和 \(\lnot q\) 表示 \(p\) 和 \(q\) 的否定，於是，四種命題的形式為：
1. 函式的基本概念
集合的對映
設 \(a\)，\(b\) 是兩個非空的集合，如果按某乙個確定的對應關係 \(f\) ，使對於集合 \(a\) 中的任意乙個元素 \(a\)，在集合 \(b\) 中都擁有唯一的元素 \(b\) 與之對應，那麼就稱對應 \(f:a \to b\) 為從集合 \(a\) 到集合 \(b\) 的乙個對映。
其中 \(b\) 稱為元素 \(a\) 在對映 \(f\) 下的像，記作 \(b=f(a)\)。\(a\) 稱為 \(b\) 關於對映 \(f\) 的原像。集合 \(a\) 中所有元素的像稱為對映 \(f\) 的值域，記作 \(f(a)\)。
函式的定義
函式通常定義在數集上。數集通常指的是實數集或它的子集。常用的數集見上文。
如果非空集合 \(a\)，\(b\) 都是數集，那麼對映 \(f:a \to b\) 稱為是集合 \(a\) 上的乙個函式，記作 \(y=f(x),x \in a\)。其中 \(x\) 叫自變數，\(y\) 叫做因變數。如果自變數取值 \(a\)，則由法則 \(f\) 確定的值 \(y\) 稱為函式在 \(a\) 處的函式值，記作 \(y=f(a)\) 或 \(y|_\)。自變數 \(x\) 的取值範圍（數集 \(a\)）叫做這個函式的定義域，因變數 \(y\) 的取值範圍 \(\\) 叫做這個函式的值域。
新概念英語第一冊 （1）
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《和碼中文》第一冊片語 共25課
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