2.3 空集公理
2.4 等價於符號
注最近看了北京師範大學2023年出版的 《基礎集合論》，還是很受益的，但是由於書籍排版不清晰，有一些詞彙已經過時，目前也沒有新版，因此我準備把本書的主要內容整理出來，分享給大家。
編寫本文的動力主要還是來自我很久以來的乙個願景：我一直覺得所有的數學知識是相互聯絡的，我們可以通過從基礎到複雜的推導一步一步建立起數學王國的整體框架。雖然根據哥德爾不完全性定理，這一願景是不可能的。但是，對知識之間的聯絡的梳理和總結是非常有意義的。
本書遵循zf公理系統介紹了抽象集合論的基本內容，主要研究集合與集合之間的關係。
略。什麼是集合？在集合論中，我們把「集合」當做不定義1
的一種物件。
在集合論中，有一種「屬於」（記為「∈
\in∈」）關係。我們用：
在集合論中，集合的元素也是集合。這就是說，當我們看到 a∈a
a \in a
a∈a 時，我們就知道其中的 a
aa 和 a
aa 都是集合。這與一些其他的數學課程的規定不同，這麼定義的原因是：
集合論只研究集合與集合之間的關係，不考慮集合以外的物件。
這並不妨礙把集合論的結果應用於其他分支（在允許應用的情況下）。
我們規定：對於任意兩個集合 a,b
,a,b,
a,b,
或者 a∈b
,a \in b,
a∈b,
或者 a̸∈
ba \not \in b
a̸∈
b 。兩者有且只有乙個成立。
在集合論中，還有一種 「等於」（記為「=
==」）關係。我們用：
因此，若 a∈a
a \in a
a∈a 且 a=b
,a = b,
a=b,
則我們可得出： b∈a
b \in a
b∈a 。
我們同樣規定：對於任意兩個集合 a,b
,a,b,
a,b,
或者 a=b
,a = b,
a=b,
或者 a̸=
ba \not = b
a̸=
b 。兩者有且只有乙個成立。
由上可知，「屬於」 與 「等於」 是集合與集合之間的兩種關係。它們是集合論中的兩個基本關係。
以下是關於「屬於」 與 「等於」 這兩個基本關係的公理：
對於任意兩個集合 a,b
,a,b,
a,b,
如果：對於任意乙個集合 x,x
∈a
x, x \in a
x,x∈
a 當且僅當2
x ∈b
x \in b
x∈b 。
則： a=b
a = b
a=b 。
這就是說，如果兩個集合有完全一樣的元素，則它們是同乙個集合。
按照「等於」關係的用法，外延公理的逆命題顯然成立：
對於任意兩個集合 a,b
,a,b,
a,b,
如果 a=b
a = b
a=b ，則：
對於任意乙個集合 x,x
∈a
x, x \in a
x,x∈
a 當且僅當 x∈b
x \in b
x∈b 。
因此，對於任意兩個集合 a,b
,a,b,
a,b,
a ≠b
a \neq b
a̸=
b 當且僅當：
或者存在乙個 x,x,
x,x ∈a
x \in a
x∈a 但是 x̸∈
bx \not \in b
x̸∈
b ； 或者存在乙個 y,y
∈b
y, y \in b
y,y∈
b 但是 y̸∈
ay \not \in a
y̸∈a 。
集合論中至少應該存在乙個集合才會有研究意義。另外，是否存在不包含任何元素的集合呢？為了解決這兩個問題，就有了空集公理：
存在乙個不包含任何元素的集合，也就是說，存在乙個集合 a
aa ，使得對於任意乙個 x,x
̸∈
ax, x \not \in a
x,x̸∈
a 。我們可以推出，空集公理裡的集合 a
aa 是唯一的：
對於任意兩個集合 a,b
,a, b,
a,b,
若 a,
ba, b
a,b 都不包含任何元素，則對於任意乙個 x,x
̸∈
ax, x \not \in a
x,x̸∈
a 且 x̸∈
bx \not \in b
x̸∈
b 。於是以下兩個命題也是成立的：
(1) 對於任意乙個 x,x,
x,若 x∈a
x \in a
x∈a 則 x∈b
x \in b
x∈b 。
(2) 對於任意乙個 y,y,
y,若 y∈b
y \in b
y∈b 則 y∈a
y \in a
y∈a 。
按照外延公理， a=b
a = b
a=b 。
不包含任何元素的集合叫空集，記為 ∅
\varnothing
∅ 。為了簡化表示，我們定義符號「等價於」（記為「⇔
\leftrightarrow
⇔」）：
a ⇔b
a \leftrightarrow b
a⇔b 表示：a
aa 等價於 b
bb。或者說：a
aa 和 b
bb 等價。或者說：a
aa 當且僅當 b
bb 。
因此，我們可以說：
「不定義」表示：不說明這個概念是什麼。雖然我們不定義這些概念，但是我們可以描述這些概念的用法。 ↩︎ 「a
aa 當且僅當 b
bb」 表示：當 b
bb 成立時，a
aa 就會成立；且只有當 b
bb 成立時，a
aa 才有可能會成立。 ↩︎
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