線性基學習筆記

定義：對於 \([0,2^m)\) 之間的數集 \(a\) ，可以由集合 $ d$ 中的數異或得來，且\(|d|\)最小化，則稱 \(d\) 是 \(a\) 的一組線性基

注意到線性基不唯一

異或的基本性質：

\[a \oplus a = 0 \\

0 \oplus a =a

\]

性質一：線性基的元素不能互相表出（線性無關）

證明：如果存在 \(d_i=d_\oplus d_ \cdots \oplus d_\)

則如果在錶出時有用到 \(d_i\) ，可將其替換為\(d_\oplus d_ \cdots \oplus d_\) ，與線性基最小性矛盾

性質二：線性基的元素無法表出 \(0\)

證明：\(d_\oplus d_ \cdots \oplus d_=0\)

等價於 \(d_ \oplus d_ \cdots \oplus d_=d_\)

與性質一矛盾

性質三：線性基錶出元素互不相同

證明：如果有兩個線性基的子集異或和 \(a = b\)，那麼同上處理

\(a \oplus b = 0\)

而 \(a \oplus b\) 也一定為 \(d\) 的子集，與性質二矛盾

性質四：總是存在一組線性基，使每乙個 \(d_i\) 的最高位的位置互不相同

證明：首先由 \(|d|\) 的最小性知所有的線性基大小相等

對於兩個最高位在同一位的數 \(a\) ，\(b\) ，將 \(a\) 替換為 \(a \oplus b\) ，此時依然能夠表出所有數，但是最高位在同一位的數不存在了

由此可知總能構造出一種滿足條件的線性基

設 \(p_i\) 表示二進位制最高位為 \(i\) 的線性基元素

由性質四知道 \(p_i\) 唯一，標出了乙個滿足性質四的線性基

考慮新增元素 \(x\) 到 \(d\) 中，逐位考慮 \(x\) 為一的位置

首先對於全域性最高位，如果 \(x\) 此位為一：

\(p_m=0\) 時，那麼此時線性基無論如何異或都無法得到 \(x\) ，直接 \(p_m=x\)，完成演算法退出

否則 \(i\) 只能必須由 \(p_m\) 異或其他數表出，因為已經沒有其他元素最高位比 \(p_m\) 高，為了方便後續操作，將插入目標改為 \(x \oplus p_m\)

如果 \(x\) 此位為零，則此位沒有影響，不考慮

注意到此時已經考慮完了最高位後，後續不會再對最高位產生影響，相當於去掉最高位的子問題，將下一位看做最高位，繼續插入修改後的 \(x\)

實現：

void ins(ll x)

x^=d[i];
}}

另外一種求線性基的辦法是矩陣高斯消元

我們考慮每個 \(a_i\) ，將其二進位制分解寫成矩陣形式

\[\begin

0101\\

1100\\

0010\\

0111\\

1001

\end

\]可以知道，異或操作是模二意義下的加法，即模二意義下的初等行變換

高斯消元為上三角矩陣

\[\begin

1001\\

0101\\

0010\\

0000\\

0000

\end

\]去掉為零的行，由於異或操作可逆，可知這是原集合的線性基

此時每一行恰有乙個主元，滿足性質四

複雜度 \(o(nm^2)\) ，實現略

1.查詢某個數夠被 \(a\) 中的元素異或表出：

直接用第一種方式嘗試插入該數，如果最終沒有發生修改，那麼返回true

2.查詢所有能被 \(a\) 中元素異或錶出的數中第 \(k\) 大的數：

拍同樣考慮最高位，

首先處理一下原來的滿足性質四的線性基，要保證除了 \(p_i\) 外其他所有線性基元素的第 \(i\) 位為零，直接將不為零的位異或上已經處理過的 \(p_j(j即可

對於 \(p_m\)，由於所有數異或上 \(p_m\) 一定比原本大，那麼將 \(k\) 與 \(2^\) 比較，就可以知道需不需要異或 \(p_m\)

繼續按位考慮子問題即可

3.查詢最大/最小異或和

仿照2進行貪心即可

線性基學習筆記

線性基是幹嘛的呢？給定n個數，求所有數的異或和最大是多少？求解這類問題的時候，就需要線性基了 個人感覺線性基本身就一種貪心。首先定義ba se i bas e i 表示最高位1在i位的數是什麼 對於新進來的數tm p tmp 我們先找出他最高位上的1，假設為第 j j 位,然後看一下ba se j ...

線性基 學習筆記

includeusing namespace std using ll long long const int maxn 5e5 5 原來的數 const int maxbit 63 ll a maxn 原來的數 ll p maxbit p j 第j位為最高位1的數 最高位1在第j位的數 int m...

線性基 學習筆記

按位計算，如果相同記為0，不同記為1。如果，a b c,c b a 交換律結合律 對於任何數,x x 0,x 0 x 對 於一 段序列a n,異或 和為a1 a2 an 對於一段序列a n,異或和為a 1 a 2 a n 對於一段序列 an 異或和為 a1 a2 an 設t s，所有 這樣的子 集t...