最近，筆者在一道 oi 題的 hint 裡看到了這樣乙個定理：
費馬平方和定理：乙個奇素數能被表成兩個平方數之和，當且僅當它是模4餘1型素數。網上的幾個證法看了之後寫下這篇筆記。
核心：證明方程 \(4xy+z^2=p\) 在 \(p\) 是模4餘1型素數時，必有 \(x=y\) 的解。
前置知識
基數：集合的元素個數。
對合：逆函式的函式，即滿足 \(f(f(x))=x\) 的函式。
step1
設集合 \(s=\left\\) ，
其中 \(p\) 是一固定素數。
顯然是個有限集。
再設 \(t=\left\\) ，容易發現此時這個集合就是方程 \(4xy + z^2 =p\) 的解集了。
這裡的 \(x\) 和 \(y\) 事實上是處於相同地位的（函式 \(f:t \to t , (x,y,z) \to (y,x,z)\) 是對合），那我們只要證明 \(t\) 的基數是奇數就行了。
step2
這時候我們開始考慮基數。
先是 \(s\) ，構造乙個函式 \(g:s \to s , (x,y,z) \to (y,x,-z)\) （跟 \(f\) 類似）。
由於 \(z \not= 0\) ，所以 \(g\) 一定沒有不動點，也就是說 \(s\) 的基數是偶數。
同時，這個函式實現了 \(t\) 和 \(s/t\) 之間的一一對映。
因此 \(t\) 的基數是 \(s\) 的一半。
step3
這個一半就很巧了呀。
嘗試構造乙個新的集合，其基數也是 \(s\) 一半的，並構造這個集合上的函式，以此證明 \(t\) 的基數是奇數。
這一步算得上是整個證明過程中的點睛之筆：
發現 \(g\) 也將 \(x-y\) 和 \(z\) 的正負性同時改變。當然 \(x-y + z\) 是一定不為 \(0\) 的，具體套入原式驗證。
設 \(u = \left\\) ，那麼 \(g\) 也實現了 \(u\) 和 \(s/u\) 之間的一一對映。
所以 \(u\) 的基數也是 \(s\) 的一半，與 \(t\) 相同。
在 \(u\) 上構造對映， \(h:u \to u , (x,y,z) \to (x-y+z,y,2y-z)\) 。
它是合法的因為 \(4y(x-y+z) + (2y-z)^2=4xy + z^2\) ，同時這是乙個對合。
於是考慮它是否有不動點，就可以判斷基數奇偶性了。
如果有，那麼 \(y=z\) ，又因為 \(4xy + z^2=p\) ，
所以 \(y(4x+y)=p\) ，這就要求 \(y=z=1\) ， \(x=\frac\) ，
這時 \(p\) 為模4餘1型素數，\(t\) 的基數為奇數，一定有滿足 \(x=y\) 的解。
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