二叉排序樹的建立

二叉查詢樹（binary search tree）又叫二叉排序樹（binary sort tree），它是一種資料結構，支援多種動態集合操作，如 search、insert、delete、minimum 和 maximum 等。

二叉查詢樹要麼是一棵空樹，要麼是一棵具有如下性質的非空二叉樹：

若左子樹非空，則左子樹上的所有結點的關鍵字值均小於根結點的關鍵字值。

若右子樹非空，則右子樹上的所有結點的關鍵字值均大於根結點的關鍵字值。

左、右子樹本身也分別是一棵二叉查詢樹（二叉排序樹）。

可以看出，二叉查詢樹是乙個遞迴的資料結構，且對二叉查詢樹進行中序遍歷，可以得到乙個遞增的有序序列。

首先，我們來定義一下 bst 的結點結構體，結點中除了 key 域，還包含域 left, right 和 parent，它們分別指向結點的左兒子、右兒子和父節點：

typedef struct node 
*bstree;

二叉查詢樹作為一種動態結構，其特點是樹的結構通常不是一次生成的，而是在查詢過程中，當樹中不存在結點的關鍵字等於給定值時再進行插入。

由於二叉查詢樹是遞迴定義的，插入結點的過程是：若原二叉查詢樹為空，則直接插入；否則，若關鍵字 k 小於根結點關鍵字，則插入到左子樹中，若關鍵字 k 大於根結點關鍵字，則插入到右子樹中。

/**
* 插入：將關鍵字k插入到二叉查詢樹
*/int bst_insert(bstree &t, int k)
else if(k == t->key)
return 0;  // 樹中存在相同關鍵字
else if(k < t->key)
return bst_insert(t->left, k);
else
return bst_insert(t->right, k);
}

構造一棵二叉查詢樹就是依次輸入資料元素，並將它們插入到二叉排序樹中的適當位置。具體過程是：每讀入乙個元素，就建立乙個新結點；若二叉查詢樹為空，則新結點作為根結點；若二叉查詢樹非空，則將新結點的值與根結點的值比較，如果小於根結點的值，則插入到左子樹中，否則插入到右子樹中。

/**
* 構造：用陣列arr建立二叉查詢樹
*/void create_bst(bstree &t, int arr, int n)
node* node = (node*)malloc(sizeof(node));
node->key = k;
node->left = null;
node->right = null;
node->parent = pre;
if(pre == null)
t = node;
else
return 1;
}

對於二叉查詢樹，最常見的操作就是查詢樹中的某個關鍵字。除了search操作外，二叉查詢樹還能支援如 minimum（最小值）、maximum（最大值）、predecessor（前驅）、successor（後繼）等查詢。對於高度為 h 的樹，這些操作都可以在 θ(h) 時間內完成。

1. 查詢

bst 的查詢是從根結點開始，若二叉樹非空，將給定值與根結點的關鍵字比較，若相等，則查詢成功；若不等，則當給定值小於根結點關鍵字時，在根結點的左子樹中查詢，否則在根結點的右子樹中查詢。顯然，這是乙個遞迴的過程。

/**

* 遞迴查詢：返回指向包含關鍵字k的結點的指標

*/node* bst_search(bstree t, int k)

也可以使用非遞迴的實現：

/**
* 非遞迴查詢：返回指向包含關鍵字k的結點的指標
*/node* bst_search_nonrecur(bstree t, int k)
return t;
}

2. 最大值與最小值

由二叉查詢樹的性質可知，最左下結點即為關鍵字最小的結點，最右下結點即為關鍵字最大的結點。此過程無需比較，只需要沿著最左和最右的路徑查詢下去，直到遇到 null 為止。

/**

* 最小值：查詢二叉查詢樹中關鍵字最小的結點

*/node* bst_minimum(bstree t)

/** * 最大值：查詢二叉查詢樹中關鍵字最大的結點

*/node* bst_maximum(bstree t)

3. 前驅與後繼

給定乙個二叉查詢樹的結點，求出它在中序遍歷中的前驅與後繼。如果所有的關鍵字均不相同，則某結點 x 的後繼是：

/**
* 後繼：查詢給定結點在中序遍歷中的後繼結點
*/node* bst_successor(node* node)
return p;
}

求前驅（predecessor）的過程對稱，對於某個結點 x ，它的前驅是：

void bst_delete(bstree &t,node* z)
else
free(z);
}	else if(z->left != null && z->right == null)
else
free(z);
}	else if(z->left == null && z->right != null)
else
free(z);
}	else
}

對於乙個高度為 h 的二叉查詢樹來說，刪除操作和插入操作一樣，都可以在 θ(h) 時間內完成。

二叉查詢樹可以實現任何一種基本的動態集合操作，且各基本操作的執行時間都是 θ(h)。當樹的高度較低時，這些操作執行的較快；但是，當樹的高度較高時，效能會變差。比如，如果各元素是按嚴格增長的順序插入的，那麼構造出來的樹就是乙個高度為 n-1 的鏈。為了儘量減少這種最壞情況的出現，我們可以隨機地構造二叉查詢樹，即隨機地將各關鍵字插入一棵初始為空的樹來構造 bst。

//#include //#include /**
* 隨機構造二叉查詢樹
*/void create_bst(bstree &t, int arr, int n)
}

二叉排序樹的建立

建立二叉排序樹

二叉排序樹的建立

二叉排序樹的建立

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