引題：用牛頓迭代法求下列方程在值等於x附近的根：2x3
−4x2
+3x−
6=02
x3−4
x2+3
x−6=
0輸入：輸入x。
輸出：方程在值等於x附近的根，佔1行。
輸入示例：1.5
輸出例項：2
1. 牛頓迭代公式推導
設多項式f(x
)f(x
)，設r是f(x
)f(x
)的根。
選取x0x0
作為r的初始近似值。
過點(x0,
f(x0
))(x
0,f
(x0
))做曲線y=f
(x)y
=f(x
)的切線l。得l：y=f
(x0)
+f′(
x0)(
x−x0
)y=f
(x0
)+f′
(x0
)(x−
x0)
則l與x軸交點的橫座標為 x1=
x0−f
(x0)
f′(x
0)x1
=x0
−f′
(x0
)f(x
0)
，那麼稱x1x
1為r的一次近似值。
過點(x1,
f(x1
))(x
1,f
(x1
))做曲線y=f
(x)y
=f(x
)的切線，並求該切線與x軸交點的橫座標x2=
x1−f
(x1)
f′(x
1)x2
=x1
−f′
(x1
)f(x
1)
，稱x2x2
為r的二次近似值。
重複以上過程，得r的近似值序列。
其中，xn+
1=xn
−f(x
n)f′
(xn)
xn+1
=xn
−f′
(xn
)f(x
n)
稱為r的n+1次近似值。
所以，xn+
1=xn
−f(x
n)f′
(xn)
xn+1
=xn
−f′
(xn
)f(x
n)
即為牛頓迭代公式。
2. 牛頓迭代公式核心思想
核心思想：使用泰勒級數的線性項近似計算函式f(x
)=0f
(x)=
0的根。把f(x
)f(x
)在點x0x
0的某領域內展開成泰勒級數，取其線性部分（即泰勒展開的前兩項），並令其等於0。
泰勒級數展開式：f(
x)=f
(x0)
+f′(
x0)(
x−x0
)+f′
′(x0
)(x−
x0)2
2!+…
+f(n
)(x0
)(x−
x0)n
n!+r
n(x)
f(x)
=f(x
0)+
f′(x
0)(
x−x0
)+2
!f′′
(x0
)(x−
x0)
2+…
+n!f
(n)(
x0)
(x−x
0)n
+rn
(x)
線性部分：f(
x)=f
(x0)
+f′(
x0)(
x−x0
)f(x
)=f(
x0)
+f′(
x0)
(x−x
0)令其為0，並以此作為非線性方程f(x
)=0f
(x)=
0的近似方程，即切線方程，得到公式：x=x
0−f(
x)f′
(x)x
=x0
−f′(
x)f(
x)將其推廣，即可以得到牛頓迭代公式：xn+
1=xn
−f(x
n)f′
(xn)
xn+1
=xn
−f′
(xn
)f(x
n)
#include
#include
using
namespace std;
doublef(
double x)
//函式
doublef1(
double x)
//導函式
intmain()
while(f
(x)>
1e-5||f
(x)<-(
1e+5))
;//控制精度，逼近處理
cout << x << endl;
}
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