在 \(\delta abc\) 中，滿足 \(\cos^2} = \cfrac\) ，判斷三角形形狀。
其中\[\begin
\cos^2} &= \cfrac \\
\cfrac} &= \cfrac+\sin}} \\
1+\cos &= \cfrac+\sin}} \\
1+\cos &= \cfrac}} + 1 \\
\cos &= \cfrac}} \\
\cos &= \cfrac
\end
\]根據餘弦定理有
\[\cos = \cfrac
\]所以可得到
\[b^2+c^2-a^2=2b^2\]即
\[a^2+b^2=c^2
\]即直角三角形。
感謝 @arielz 補充的證明過程。
其實畫個圖就明顯，三個角滿足這樣條件的三角形只有直角三角形。
如圖，
半形公式，三角形邊角關係，正弦定理。
數形結合。
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由倍角公式可知
\[\cos = 1 - 2 \sin^2
\]則有
\[\begin
\cos &= 1 - 2 \sin^2} \\
1 - \cos &= 2 \sin^2} \\
\sin^2} &=\cfrac} \\
\end
\]可得
\[\sin\cfrac = \sqrt}}\]由
\[\cos^2} = 1 - \sin^2}
\]可知
\[\begin
&cos^2}\\
= &1-\cfrac} \\
= &\cfrac}
\end
\]那麼可得
\[\cos} = \sqrt}}\]由
\[\tan = \cfrac}}\]有
\[\tan} = \cfrac}}}
\]整理可得
\[\tan\cfrac = \sqrt}}}
\]證畢。
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